Question

Решить уравнения! 2х+3у+z=1 х+у-4z=0 4х+5у-3z=1 все это записать в матричной формуле и решить с обратной матрицы, правила крамера и методом гауса

Answer 1

$\begin{cases}2x+3y+z=1\\\ x+y-4z=0\\4x+5y-3z=1\end{cases}\\\\A \left[\begin{array}{ccc}2&3&1\\1&1&-4\\4&5&-3\end{array}\right]\ ;B \left[\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right]\ ;X \left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]$

Проверяем определитель левой части: равен ли он нулю:

$\left[\begin{array}{ccc}2&3&1\\1&1&-4\\4&5&-3\end{array}\right]=-6-48+5-4+9+40\neq0$
Метод обратной матрицы:
$AX=B|*A^{-1}\\X=A^{-1}B\\A_{11}=17\ \ \ \ \ \ A_{12}=-13\ \ \ \ \ \ A_{13}=1\\A_{21}=14\ \ \ \ \ \ A_{22}=-10\ \ \ \ \ \ A_{23}=2\\A_{31}=-13\ \ \ \ A_{32}=9\ \ \ \ \ \ \ \ \ A_{33}=-1\\\\A^T= \left[\begin{array}{ccc}17&14&-13\\-13&-10&9\\1&2&-1\end{array}\right]\\\\A^{-1}=-\frac{1}{4}*\left[\begin{array}{ccc}17&14&-13\\-13&-10&9\\1&2&-1\end{array}\right]$

$X=-\frac{1}{4}*\left[\begin{array}{ccc}17&14&-13\\-13&-10&9\\1&2&-1\end{array}\right]* \left[\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-1\\1\\0\end{array}\right]$

Правило Крамера.
Находим определитель:-4
Далее находим дополнительные определители.
$a_x= \left[\begin{array}{ccc}1&3&1\\0&1&-4\\1&5&-3\end{array}\right] =-3-12-1+20=4\\\\a_y= \left[\begin{array}{ccc}2&1&1\\1&0&-4\\4&1&-3\end{array}\right] =-16+1+3+8=-4\\\\a_z= \left[\begin{array}{ccc}2&3&1\\1&1&0\\4&5&1\end{array}\right] =2+5-4-3=0\\\\X=\frac{4}{-4}=-1\ ;Y=\frac{-4}{-4}=1\ ;Z=\frac{0}{-4}=0\\OTBET: \left[\begin{array}{ccc}-1\\1\\0\end{array}\right]$

Метод Гаусса:
Записываем систему  как расширенную матрицу и изменяем ее путем элементарных преобразований к единичной в левой части:
$\left[\begin{array}{ccccc}2&3&1&|&1\\1&1&-4&|&0\\4&5&-3&|&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1&1&-4&|&0\\2&3&1&|&1\\4&5&-3&|&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1&1&-4&|&0\\0&1&9&|&1\\0&1&13&|&1\end{array}\right]=\\\\\left[\begin{array}{ccccc}1&0&-13&|&-1\\0&1&9&|&1\\0&0&4&|&0\end{array}\right]$