Докажите, что при любом значении аверно неравенство: 1) 3(а+1)+а-4(2+а)< 0 2)(а-2)в квадрате -а(а-4)> 0 3)1+2а в четвертой меньше или равно а в квадрате+ 2а
а) Домножим заданное выражение на 1, причем представим 1 как (2-1), тогда можно будет применить несколько раз формулу разности квадратов: ответ:
б) Заметим, что для каждого множителя (скобки) числа от 1 до 2008 прибавляются к фиксированному числу 200, если они нечетные, и отнимаются от фиксированного числа 200, если они четные. Тогда, в произведении встретится скобка (200-200): так как число 200 четное, то в этой скобке оно будет отниматься от фиксированного числа 200. Следовательно, один из множителей равен 0, а значит и все произведение равно 0. ответ: 0
Диагональю выпуклого многоугольника называется отрезок, соединяющий пару несмежных вершин. Подсчитаем, сколько диагоналей у выпуклого n-угольника.
Рассмотрим направленные диагонали, т.е. "отрезки" с началом в одной вершине и концом в другой, несмежной с начальной. Из выбранной начальной вершины выходят ровно (n - 3) направленных диагоналей (концами НЕ могут быть сама вершина и две, смежные с ней). Тогда всего направленных диагоналей должно быть n * (n - 3).
Искомое же число диагоналей в два раза меньше, поскольку для каждой диагонали направление можно выбрать двумя различными
Итак, p(n) = n * (n - 3) / 2. Область определения этой формулы - натуральные числа (конечно, можно подставлять в эту формулу различные n, в том числе и, например, нецелые отрицательные, но многоугольников с -17.25 вершинами не бывает).
3a+3+a-8-4a<0 - "a"сократится
-8<0
при любом "а" будет так
2) (a-2)^2-a(a-4)>0
a^2-4a+4 -a^2 +4a>0 - "а" сократится
4>0
при любом "а" будет так
3) 1+2a^4>=a^2+2a
2a^4 -a^2 -2a +1 >=0
2a(a^3-1) + (1-a^2)>=0
-2a(a^3-1) +(a^2-1) =<0
-2a(a-1)(a^2+a+1) +(a-1)(a+1) =<0
(a-1)(-2a(a^2+a+1)+(a+1)) =<0