Для решения данной задачи вам потребуется знание основных тригонометрических соотношений и формулы тангенса в квадрате. Ответ на ваш вопрос может быть получен в несколько шагов:
Шаг 2: У нас дано равенство tg(x) = 6. Так как тангенс определен как соотношение противолежащего и прилежащего катетов в треугольнике, мы можем использовать тригонометрический треугольник, чтобы найти значения sin(x) и cos(x).
Шаг 3: Поделим обе части равенства tg(x) = 6 на cos(x), чтобы избавиться от знаменателя в формуле тангенса:
tg(x) / cos(x) = 6 / cos(x)
Шаг 4: Мы знаем, что tg(x) = sin(x) / cos(x) (определение тангенса), поэтому можем заменить tg(x) в уравнении:
sin(x) / cos(x) / cos(x) = 6 / cos(x)
Шаг 5: Упростим выражение в левой части уравнения:
sin(x) / cos^2(x) = 6 / cos(x)
Шаг 6: Умножим обе части уравнения на cos^2(x), чтобы избавиться от знаменателя в левой части:
sin(x) = 6 * cos^2(x)
Шаг 7: Мы также знаем из тригонометрической формулы, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Подставим это значение в уравнение для sin(x):
sin^2(x) + cos^2(x) = 1
(6 * cos^2(x))^2 + cos^2(x) = 1
Шаг 18: Упростим дроби в квадратных корнях и возвести всю дробь в квадрат:
tg^2(x) = ([√((72 - (√145 - 1))) / (√((√145 - 1) * 72)))]^2
Шаг 19: Полученное выражение – окончательный ответ на задачу. Он может быть упрощен и округлен при необходимости.
tg^2(x) = ((72 - √145 + 1) / (√((√145 - 1) * 72))))^2
Шаг 1: Запишем формулу тангенса в квадрате:
tg^2(x) = (sin(x) / cos(x))^2
Шаг 2: У нас дано равенство tg(x) = 6. Так как тангенс определен как соотношение противолежащего и прилежащего катетов в треугольнике, мы можем использовать тригонометрический треугольник, чтобы найти значения sin(x) и cos(x).
Шаг 3: Поделим обе части равенства tg(x) = 6 на cos(x), чтобы избавиться от знаменателя в формуле тангенса:
tg(x) / cos(x) = 6 / cos(x)
Шаг 4: Мы знаем, что tg(x) = sin(x) / cos(x) (определение тангенса), поэтому можем заменить tg(x) в уравнении:
sin(x) / cos(x) / cos(x) = 6 / cos(x)
Шаг 5: Упростим выражение в левой части уравнения:
sin(x) / cos^2(x) = 6 / cos(x)
Шаг 6: Умножим обе части уравнения на cos^2(x), чтобы избавиться от знаменателя в левой части:
sin(x) = 6 * cos^2(x)
Шаг 7: Мы также знаем из тригонометрической формулы, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Подставим это значение в уравнение для sin(x):
sin^2(x) + cos^2(x) = 1
(6 * cos^2(x))^2 + cos^2(x) = 1
Шаг 8: Решим квадратное уравнение для cos(x):
36 * cos^4(x) + cos^2(x) = 1
Шаг 9: Перенесем все члены уравнения влево и получим:
36 * cos^4(x) + cos^2(x) - 1 = 0
Шаг 10: Решим полученное квадратное уравнение. Заметим, что здесь cos^2(x) - это новая переменная, пусть он будет y:
36y^2 + y - 1 = 0
Шаг 11: Решим данное квадратное уравнение, используя метод факторизации или формулу дискриминанта. Решение уравнения будет:
y = (-1 ± √(1 + 4*36*1)) / 2*36
y = (-1 ± √(1 + 144)) / 72
y = (-1 ± √145) / 72
Шаг 12: Заметим, что мы искали cos^2(x), поэтому нужно взять только положительное решение для y:
y = (-1 + √145) / 72
Шаг 13: Теперь найдем значение cos(x), извлекая квадратный корень из y:
cos(x) = √((√145 - 1) / 72)
Шаг 14: Для нахождения sin(x) воспользуемся тригонометрическим тождеством sin^2(x) + cos^2(x) = 1:
sin(x) = √(1 - cos^2(x))
Шаг 15: Подставим найденные значения cos(x) и sin(x) в формулу тангенса в квадрате:
tg^2(x) = (sin(x) / cos(x))^2 = ([√(1 - cos^2(x))] / cos(x))^2
Шаг 16: Заменим найденные значения cos(x) и sin(x) в формулу:
tg^2(x) = ([√(1 - (√((√145 - 1) / 72))^2)] / (√((√145 - 1) / 72))))^2
Шаг 17: Упростим выражение внутри квадратного корня:
tg^2(x) = ([√(1 - ((√145 - 1) / 72))] / (√((√145 - 1) / 72))))^2
Шаг 18: Упростим дроби в квадратных корнях и возвести всю дробь в квадрат:
tg^2(x) = ([√((72 - (√145 - 1))) / (√((√145 - 1) * 72)))]^2
Шаг 19: Полученное выражение – окончательный ответ на задачу. Он может быть упрощен и округлен при необходимости.
tg^2(x) = ((72 - √145 + 1) / (√((√145 - 1) * 72))))^2