Для исследования функции на экстремум, тебе понадобится использовать производные. Экстремумы функции называются точками, в которых функция имеет максимум или минимум.
1. Сначала найдем производную функции, чтобы найти точки, в которых функция может иметь экстремумы.
y = 2x^4 - x
Для этого, возьмем производную функции по x:
y' = d/dx (2x^4 - x)
Чтобы найти производную функции, нам понадобится применить правило дифференцирования для каждого члена функции. В данном случае, правило дифференцирования степенной функции гласит: если у нас есть функция f(x) = ax^n, то производная будет f'(x) = nax^(n-1).
Применим правило дифференцирования к нашей функции:
y' = 2 * 4 * x^(4-1) - 1 * 1 * x^(1-1)
y' = 8x^3 - 1
Таким образом, производная функции y равна 8x^3 - 1.
2. Теперь найдем точки, в которых производная функции равна нулю или не определена. В этих точках функция может иметь экстремумы.
Для этого, приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
8x^3 - 1 = 0
8x^3 = 1
x^3 = 1/8
x = ^(3√)1/8
Для решения этого уравнения, нам необходимо найти кубический корень из 1/8. Мы знаем, что кубический корень из 1/8 равен 1/2:
x = 1/2
3. Так как производная функции определена для всех значений x, у нас нет других точек, в которых производная равна нулю или не определена. Следовательно, единственной точкой, в которой функция y = 2x^4 - x может иметь экстремум, является x = 1/2.
4. Для определения, является ли точка x = 1/2 максимумом или минимумом функции, нам необходимо проанализировать знак производной в окрестности этой точки.
Для этого возьмем небольшой интервал вокруг x = 1/2 и подставим значения x, немного меньшие и немного большие, чтобы узнать, как меняется знак производной.
Проверим знак производной, когда x меньше 1/2:
Пусть x = 1/2 - ε, где ε - очень маленькое положительное число.
Подставим x = 1/2 - ε в производную функции:
y' = 8(1/2 - ε)^3 - 1
y' = 8(1/8 - 3/4ε + 3/2ε^2 - ε^3) - 1
y' = 1 - 6ε + 12ε^2 - 8ε^3 - 1
y' = -6ε + 12ε^2 - 8ε^3
Так как ε - маленькое положительное число, то ε^2 и ε^3 будут маленькими положительными числами, и мы можем их пренебречь.
Таким образом, получаем:
y' ≈ -6ε
Из этого видно, что значение производной отрицательно, когда x немного меньше 1/2.
Теперь проверим знак производной, когда x больше 1/2:
Пусть x = 1/2 + ε, где ε - очень маленькое положительное число.
Подставим x = 1/2 + ε в производную функции:
y' = 8(1/2 + ε)^3 - 1
y' = 8(1/8 + 3/4ε + 3/2ε^2 + ε^3) - 1
y' ≈ 6ε
Так как ε - маленькое положительное число, то ε^2 и ε^3 будут маленькими положительными числами, и мы можем их пренебречь.
Таким образом, получаем:
y' ≈ 6ε
Из этого видно, что значение производной положительно, когда x немного больше 1/2.
5. Таким образом, мы видим, что в окрестности точки x = 1/2, производная функции меняет знак с отрицательного на положительный. Это говорит о том, что функция имеет локальный минимум в точке x = 1/2.
Итак, точка x = 1/2 является точкой минимума функции y = 2x^4 - x.
Это подробное и шаг за шагом объяснение исследования функции на экстремум. Надеюсь, что оно помогло тебе понять процесс анализа функций на экстремумы более детально. Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся обращаться!
Для решения данного выражения, мы можем использовать свойства степеней.
В данном случае, у нас есть выражение (4^-2*4^-7)/4^-11. Начнем с рассмотрения каждой степени по отдельности.
Свойство степеней гласит, что a^-n = 1/a^n. В нашем случае, у нас есть степени 4^-2, 4^-7 и 4^-11. По свойству, мы можем записать их как 1/4^2, 1/4^7 и 1/4^11.
Теперь мы можем упростить выражение следующим образом:
(1/4^2 * 1/4^7) / 1/4^11
Из свойства умножения дробей, мы можем записать это как:
(1 * 1) / (4^2 * 4^7) * 4^11
Упростим выражение в знаменателе, используя свойство умножения степеней:
(1 * 1) / 4^9 * 4^11 = 1 / 4^(9+11) = 1 / 4^20
Теперь, чтобы упростить выражение, нам нужно использовать свойство степени, которое гласит a^(-n) = 1/a^n. В нашем случае, мы можем записать 4^20 как 1/4^-20.
Теперь у нас получилось следующее выражение:
1 / 1/4^-20
Теперь, чтобы разделить на дробь, мы можем использовать свойство деления дробей, где мы инвертируем делитель и умножаем:
1 * 4^20/1 = 4^20
Таким образом, значение данного выражения равно 4^20.
Этот ответ означает, что мы должны возвести число 4 в степень 20. Это можно сделать с помощью калькулятора или путем последовательного умножения числа 4 самого на себя 20 раз.
Надеюсь, это понятно. Если у тебя остались вопросы, не стесняйся задать.
В объяснении
Объяснение:
6) Область определения - значения х, при которых определено значение функции D(f) = { x ∈ [ -3; 3 ] }
Область значений функции - значения y, которые могут достигаться функцией E(f) = { y ∈ [ 0; 5]}
7) функция возрастает при x ∈ [-2; 0]∪[2; 3]
функция убывает при x ∈ [-3; -2]∪[0; 2]
8) Наибольшее значение функции достигается при x=0 и равно y=5
Наименьшее значение функции достигается при x = -2 и x = 2 и равно y = 0