Question

В какой точке касательная проведенная к графику функции: y=e^2x+1 -1 будет параллельна прямой y=2x+3

Answer 1

ответ:     x₀= - 0,5 .

Объяснение:

Прямі на площині паралельні , якщо кут. коеф.  k₁ = k₂ .

y=2x+3 ;  k₁ = 2 ;

кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції  k₂ = f' (x₀ ) = 2 ;

y=e²ˣ⁺¹ - 1 ;   y' = e²ˣ⁺¹ *( 2x + 1 )' = 2* e²ˣ⁺¹ ;

2* e²ˣ⁺¹ = 2 ;        e²ˣ⁺¹ = 1 ;        e²ˣ⁺¹ = e⁰ ;     2x + 1 = 0 ;  x₀= - 0,5 .

Answer 2

Угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению производной этой функции в точке касания.

$y=e^{2x+1}-1\ \ \ \to \ \ \ y'(x)=2e^{2x+1}\\\\y=2x+3\ \ \to \ \ \ k=2\\\\y'(x_0)=k\ \ \Rightarrow \ \ \ 2e^{2x+1}=2\ \ ,\\\\e^{2x+1}=1\ \ ,\ \ e^{2x+1}=e^0\ \ ,\ \ 2x+1=0\ \ ,\ \ x_0=-\dfrac{1}{2}\\\\y_0=e^{2\cdot (-\frac{1}{2})+1}-1=e^0-1=1-1=0$

Точка, в которой  касательная проведенная к графику функции будет параллельна заданной прямой, имеет координаты  $\Big(-\dfrac{1}{2} \ ;\ 0\ \Big)$  .