Question

решить !

3 cos2x + 4 sin2x + 5= sin^2x

Answer 1

ОТВЕТ: $\arctan(-4\pm2\sqrt2)+\pi k, k\in\mathbb Z.$

Решение: Преобразуем, используя формулы двойного угла и основное тригонометрическое тождество:

$3(\cos^2x-\sin^2x)+4\cdot2\sin x \cos x+5=\sin^2x;\\3(1-\sin^2x-\sin^2x)+8\sin x \cos x+5-\sin^2x=0;\\3(1-2\sin^2x)+8\sin x\cos x+5-\sin^2x=0;\\3-6\sin^2x+8\sin x\cos x+5-\sin^2x=0;\\-7\sin^2x+8\sin x\cos x+8=0;\\-7\sin^2x+8\sin x\cos x+8(\sin^2x+\cos^2x)=0;\\\sin^2x+8\sin x\cos x+8\cos^2x=0.$

Обе части разделим на $\cos^2x\neq0$:

$\tan^2x+8\tan x+8 = 0.$

Замена - $\tan x=t$:

$t^2+8t+8=0;\\(t^2+8t+16)-8=0;\\(t+4)^2=8;\\t+4=\pm\sqrt8;\\t=-4\pm2\sqrt2.$

Обратная замена:

$\tan x=-4\pm2\sqrt2;\\x=\arctan(-4\pm2\sqrt2)+\pi k, k\in\mathbb Z.$