Question

Найти общее решение диференц.урав. у"-6у'+9у=0​

Answer 1

Стандартный решения такого уравнения - с характеристического уравнения k²-6k+9=0; k=3 - кратный корень;

$y_1=e^{3x};\ y_2=xe^{3x};\ y=C_1e^{3x}+C_2xe^{3x}.$

Однако в простых случаях ответ можно получить без всякой теории. В данном случае, домножив уравнение на$e^{-3x},$ можем записать его в виде

$(ye^{-3x})''=0;\ (ye^{-3x})'=C_1;\ ye^{-3x}=C_1x+C_2;\ y=C_1xe^{3x}+C_2e^{3x}$

Answer 2

Смотри решение.

Объяснение:

1. Запишем уравнение в исходном виде:

$y"-6y'+9y=0\\$

2. Запишем характеристическое уравнение:

λ^2 - 6λ + 9 = 0

3. Решаем его через дискриминант:

$a=1; b=-6; c=9\\D=(-6)^2-4*1*9\\D=36-36\\D=0\\\sqrt{D}=\sqrt{0}=0\\$

4. Находим λ:

λ_1 = λ_2 = $\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-6)+0}{2}=\frac{6}{2}=3\\$

5. Записываем общее решение данного дифферинциального уравнения:

$Y_{obsch}=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{3x}\\$