Question

Комплексное число (корень 3 - i)^10 / 1 - i

Answer 1

Объяснение:

$\frac{(\sqrt{3} -i)^{10}}{1-i} +e^{i\pi /2}$

Разберем по порядку. Сначала возведем скобку в степень.

Для этого представим скобку в тригонометрической форме:

$\sqrt{3} -i= 2(\frac{\sqrt{3} }{2} -\frac{1}{2}*i )=2(cos(\frac{11\pi }{6} )+i*sin(\frac{11\pi }{6} ))$

Возводим это в степень:

$[2(cos(\frac{11\pi }{6} )+i*sin(\frac{11\pi }{6} ))]^{10}=2^{10}(cos(\frac{110\pi }{6} )+i*sin(\frac{110\pi }{6} ))=$

$=1024(cos(\frac{(108+2)\pi }{6} )+i*sin(\frac{(108+2)\pi }{6} ))=1024(cos(\frac{2\pi }{6} )+i*sin(\frac{2\pi }{6} ))=$

$=1024*(cos(\frac{\pi }{3} )+i*sin(\frac{\pi }{3} ))=1024*(\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3} }{2} *i)=512(1+\sqrt{3}*i )$

Теперь делим. Умножаем числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное число:

$\frac{512(1+\sqrt{3}*i )(1+i)}{(1-i)(1+i)} =\frac{512(1+\sqrt{3}*i+i+\sqrt{3}*i^2)}{2} =256(1-\sqrt{3} +i*(1+\sqrt{3} ))=$

$=256(1-\sqrt{3} )+(256+256\sqrt{3})*i$

И последнее слагаемое. Есть известное равенство:

$e^{i\pi }=-1$

Отсюда

$e^{i\pi /2}=\sqrt{e^{i\pi }} =\sqrt{-1} =i$

Складываем:

$256(1-\sqrt{3} )+(256+256\sqrt{3})*i + i = 256(1-\sqrt{3} )+(257+256\sqrt{3})*i$