Question

4.2 система рівнянь з параметрами, 11 клас

Answer 1

(см. объяснение)

Объяснение:

$\left\{\begin{array}{c}\sqrt[3]{x+y+4}+\sqrt[3]{y+7}=4\\x+2y=5\end{array}\right$

Пусть $\sqrt[3]{x+y+4}=a$ и $\sqrt[3]{y+7}=b$.

Значит $a^3=x+y+4$ и $b^3=y+7$.

Тогда поработаем с первой строкой системы:

$a+b=4,\;\;a^3+b^3+3ab(a+b)=64$

Подставим $a^3,\;b^3$, учитывая, что $a+b=4$:

$x+2y+11+12ab=64$

Из второй строки системы $x=5-2y$.

Выполним подстановку этого выражения:

$16+12ab=64\\ab=4$

Получим:

$\left\{\begin{array}{c}a+b=4\\ab=4\end{array}\right;$

Это теорема Виета, поэтому решением системы будет:

$\left\{\begin{array}{c}a=2\\b=2\end{array}\right;$

Выполнив обратную замену, запишем:

$\left\{\begin{array}{c}\sqrt[3]{9-y}=2\\\sqrt[3]{y+7}=2\end{array}\right,\;\;\left\{\begin{array}{c}9-y=8\\y+7=8\end{array}\right,\;\;y=1$

Теперь осталось найти $x$:

$x=5-2\\x=3$

Итого получили, что решением системы является пара чисел $(3;\; 1)$.

Задание выполнено!