Question

При каких значениях x числа образуют арифметическую прогрессию

Answer 1

Согласно свойству арифметической прогрессии: d = a3 - a2 и одновременно d = a2 - a1. Поэтому a3 - a2 = a2 - a1. Итак, a3 = 2a2 - a1.

√(12х+13) = 2√(5х+4) - √х

ОДЗ:

1. 12х+13≥0; х≥-1 1/12

2. 5х+4≥0; х≥-4/5

3. х≥0

ОДЗ: х≥0

(√(12х+13))^2 = (2√(5х+4) - √х)^2

12х+13 = 4(5х+4)-4√(5х+4)√х+х

12х+13 = 20х+16-4√(5х^2+4х)+х

9х+3 = 4√(5х^2+4х)

(9х+3)^2 = (4√(5х^2+4х))^2

81х^2+54х+9 = 16(5х^2+4х)

81х^2+54х+9 = 80х^2+64х

х^2-10х+9 =0

(х-1)(х-9) = 0

х = 1

х = 9

ответ: при х = 1 или х = 9.

Answer 2

$\sqrt{12x+13} -\sqrt{5x+4}=\sqrt{5x+4}-\sqrt{x}$

ОДЗ:  $12x+13\geq 0=x\geq -1\frac{1}{12}$

         $5x+4\geq 0=x\geq -\frac{4}{5}$

          $x\geq 0$    - общее ОДЗ.

$\sqrt{12x+13} +\sqrt{x} =2\sqrt{5x+4}$

$(\sqrt{12x+13} +\sqrt{x} )^2=(2\sqrt{5x+4})^2$

$12x+13+2\sqrt{x(12x+13)} +x=4*(5x+4)$

$2\sqrt{x(12x+13)} =20x+16-12x-13-x$

$2\sqrt{12x^2+13x} =7x+3$

$(2\sqrt{12x^2+13x} )^2=(7x+3)^2$

$4*(12x^2+13x) =49x^{2} +42x+9$

$48x^2+52x =49x^{2} +42x+9$

$49x^{2} +42x+9-48x^{2} -52x=0$

$x^{2} -10x+9=0$

$D=100-4*1*9=64=8^2$

$x_1=\frac{10-8}{2}=1$

           $x_1=1$

$x_2=\frac{10+8}{2}=9$

          $x_2=9$

1)  Проверим  $x_1=1$

$\sqrt{1} =б1$;       $\sqrt{5*1+4} =б3;$     $\sqrt{12*1+13}=б5$

Числа   1;  3;  5;   или   $-1;$  $-3;$   $-5$  образуют арифметическую прогрессию.

2)  Проверим  $x_2=9$

$\sqrt{9} =б3$;       $\sqrt{5*9+4} =б7;$     $\sqrt{12*9+13}=б11$

Числа   3;  7;  11;   или   $-3;$  $-7;$   $-11$  образуют арифметическую прогрессию.

ответ:  {1;  9}