Question

Знайдіть усі значення параметра а, при яких рівняння logx (ax-4)=2 має єдиний розв‘язок

Answer 1

(см. объяснение)

Объяснение:

$\log_x(ax-4)=2$

ОДЗ:

$\left\{\begin{array}{c}ax-40\\x0\\x\ne1\end{array}\right;$

$\log_x(ax-4)=2\\x^2-ax+4=0 \\ax=x^2+4$

Заметим, что для любого корня уравнения вне зависимости от значения параметра $a$ произведение $ax$ будет больше или равно 4.

Причем $ax=4$, если $x=0$ - корень уравнения. Но это невозможно, так как при $x=0$ имеем $4=0$ (неверно) при любом значении параметра.

Тогда $ax4$, то есть условие ОДЗ $ax-40$ будет выполнятся всегда.

Исходное уравнение будет иметь ровно один корень, либо если $x^2-ax+4=0$ имеет один корень, удовлетворяющий ОДЗ, либо если это уравнение имеет два корня, только один из которых удовлетворяет ОДЗ.

Рассмотрим первый случай. Он достижим, когда $D=0$.

$D=a^2-16\\a^2-16=0\\a=\pm4$

При $a=-4$ уравнение имеет корень $x=-2$, поэтому такое значение параметра не подходит.

При $a=4$ уравнение имеет корень $x=2$, поэтому такое значение параметра подходит.

Рассмотрим второй случай. Он достижим, когда $D0$.

Здесь также важно, чтобы уравнение либо имело один корень $x=1$, а другой положительный, либо один корень неположительный, а другой положительный, не равный единице.

Обратимся к первой ситуации:

$1^2-a\times1+4=0\\a=5$

В этом случае уравнение имеет корни $x=1$ или $x=4$, первый из которых, отпадая, обеспечивает наличие единственного корня у исходного уравнения. Тогда такое значение параметра подходит.

Для того чтобы вторая ситуация могла быть достижимой, необходимо, но не достаточно, чтобы выполнялось условие $x^2-ax+4\le0$ при $x=0$. Однако это невозможно, поэтому такой вариант рассматривать дальше не будем.

Итого при $a=4$ или $a=5$ исходное уравнение имеет единственное решение.

Задание выполнено!