Question

В арифметической прогрессии сумма 2-го, 4-го и 6-го членов равна 84, а произведение 4-го и 7-го членов равно 196. Сколько членов этой прогрессии следует взять, чтобы их сумма равнялась !

Answer 1

Можно взять 7 или 8 членов прогрессии

Объяснение:

Дано:

a₂ + a₄ + a₆ = 84

a₄ · a₇ = 196

Sn = 196

Найти:

n

а₁ + d + a₁ + 3d + a₁ + 5d = 84

(a₁ + 3d)(a₁ + 6d) = 196

3a₁ + 9d = 84

a₁² + 9a₁d + 18d² = 196

a₁ = 28 - 3d

(28 - 3d)² + 9d(28 - 3d) + 18d² = 196

784 - 168d + 9d² + 252d - 27d² + 18d² = 196

84d + 588 = 0

84d = - 588

d = -7

a₁ = 28 - 3 (-7) = 49

$a_n = a_1 + d(n-1)$

$S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n$

$S_n = \dfrac{a_1 + a_1 + d\cdot (n-1)}{2}\cdot n$

$2S_n = 2a_1n+ dn^2 - dn$

2 · 196 = 2 · 49n - 7n² + 7n

7n² - 105 n + 392 = 0

n² - 15n + 56 = 0

D = 225 - 224 = 1

n₁ = 0.5(15 - 1) = 7

n₂ = 0.5(15 + 1) = 8

можно взять 7 членов прогрессии

$a_7 = 49 -6\cdot 7 = 7$

$S_7 = 0.5(49 +7)\cdot 7 = 196$

а можно взять и 8 членов прогрессии, так как

$a_8 = a_7 + d = 7 - 7 = 0$

Answer 2

$\left\{\begin{array}{ccc}a_{2}+a_{4}+a_{6} =84 \\a_{4}\cdot a_{7}=196 \end{array}\right left\{\begin{array}{ccc}a_{1}+d+a_{1}+3d+a_{1} +5d=84 \\(a_{1}+3d)\cdot (a_{1}+6d)=196 \end{array}\rightleft\{\begin{array}{ccc}3a_{1}+9d=84 \\(a_{1}+3d)\cdot (a_{1}+6d)=196 \end{array}\rightleft\{\begin{array}{ccc}a_{1}+3d=28 \\(a_{1}+3d)\cdot (a_{1}+6d)=196 \end{array}\rightleft\{\begin{array}{ccc}a_{1}+3d=28 \\28\cdot (28+3d)=196 \end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{ccc}a_{1}+3d=28 \\784+84d=196 \end{array}\rightleft\{\begin{array}{ccc}a_{1}+3d=28 \\84d=-588 \end{array}\rightleft\{\begin{array}{ccc}a_{1}+3d=28 \\d=-7 \end{array}\rightleft\{\begin{array}{ccc}a_{1}=28-3\cdot (-7) \\d=-7 \end{array}\rightleft\{\begin{array}{ccc}a_{1}=49\\d=-7\end{array}\right$

$S_{n} =196 \ , \ n=?196=\dfrac{2a_{1} +d(n-1) }{2}\cdot n 392=(2\cdot49-7n+7)\cdot n392=(105-7n)\cdot n7n^{2} -105n+392=0n^{2} -15n+56=0Teorema \ Vieta :n_{1}=7 \ ; \ n_{2}=8$

Проверкой убеждаемся , что следует взять 7 членов .