Какой набор точек представляет собой уравнение:
а) 9x² + 9y² - 12x - 6y - 76 = 0
б) x² + y² - 18x + 40y + 481 = 0 ;
в) x² + y² + 2x - 6y + 15 = 0 || x² + y + 2x - 6y + 15 = 0
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Решение
а)
9x² + 9y² - 12x - 6y - 76 = 0 ⇔ (9x²- 12x +4) + ( 9y² - 6y+ 1 ) - 4 - 1 - 76 = 0 ⇔ (3x -2)²+(3y -1)² =81 ⇔ 9(x -2/3)² +9(y -1/3 )² =81 ⇔(x -2/3)² +(y -1/3 )² =3²
Точки на окружности с центром O ( 2/3 ; 1/3 ) и радиусом R = 3 .
б)
x² + y² - 18x + 40y + 481 = 0 ⇔(x² - 18x + 81) + (y² + 40y + 400) =0⇔
(x - 9)² + ( y + 20)² = 0 возможно, если только x - 9 =0 и y = - 20
* * * (x - 9)² ≥ 0 и ( y + 20)² ≥ 0 * * *
ответ : единственная точка : E( 9 ; - 20) .
в)
x² + y² + 2x - 6y + 15 = 0 ⇔ ( x² + 2x + 1 ) + ( y² - 6y + 9 ) +5 = 0 ⇔
(x + 1 )² + ( y - 3 )²+ 5 = 0 невозможно т.к. (x + 1 )² ≥0 и ( y - 3 )² ≥ 0
(x + 1 )² + ( y - 3 )²+ 5 ≥ 5
(x + 1 )² + ( y - 3 )²+ 5
ответ: ∅
I.
1) 18у⁵-12ху²+9у³= 3у²·(6у³-4х+3у)
2) - 14аb³с²-21a²bc²-28a³b²c= -7abc·(2b²c+3ac+4a²b)
II.
1) a(3x-2y)+b(3x-2y) = (3x-2y)·(a+b)
2) (x+3)(2y-1)-(x+3)(3y+2)= (x+3)·(2y-1-3y-2)=(x+3)·(-y-3) = - (x+3)·(y+3)
III.
1) 3x-x²=0
x· (3-x) = 0
x₁ = 0;
3-x = 0 => x₂ = 3
ответ: {0; 3}
2) y²+5y=0
y·(у+5) = 0
у₁ = 0
у+5=0 => y₂ = -5
ответ: {0; -5}
IV.
27³+3⁷ = (3³)³ + 3⁷ = 3⁹ + 3⁷ = 3⁷· (3² + 1) = 3⁷· (9+1) = 3⁷ · 10
Понятие "кратно 10" означает "деление на 10 нацело"
(3⁷·10) : 10 = 3⁷ Доказано!