Question

Подскажите ,как доказать что когда сумма n первых членов последовательности можно посчитать по формуле Sn=n^2- 3n,то эта последовательность является арифметической прогрессией?

Answer 1

$S_n=n^2- 3n$

Воспользуется тем, что сумма первых n членов последовательности равна сумме первых (n-1) членов последовательности и n-ого члена последовательности:

$S_n=S_{n-1}+a_n$

Отсюда выразим n-ый член последовательности:

$a_n=S_n-S_{n-1}$

Найдем его:

$a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2- 3n)-((n-1)^2- 3(n-1))=$

$=(n^2- 3n)-(n^2-2n+1-3n+3)=(n^2- 3n)-(n^2-5n+4)=$

$=n^2- 3n-n^2+5n-4=\boxed{2n-4}$

Как видно, n-ый член последовательности имеет форму n-ого члена арифметической прогрессии, который обычно записывается так:

$a_n=a_1+d(n-1)$

Преобразовав, можно получить:

$a_n=dn+a_1-d$

Получаем несложную систему для нашего случая:

$\begin{cases} d=2\\ a_1-d=-4} \end{cases}$

Дорешав которую, можно определить какая именно арифметическая прогрессия имелась в виду:

$\begin{cases} a_1=-2 \\ d=2} \end{cases}$

Answer 2

Доказательство:

Дана последовательность

$S_n = n^2 - 3n(1)$

Допустим, что эта последовательность арифметическая прогрессия, тогда

при n = 1  получаем

$S_1 = a_1 = 1^2 - 3 \cdot 1 = -2$

при n = 2

$S_2 = a_1 + a_2 = 2^2- 3 \cdot 2 = -2$

и

а₂ = -2 - а₁ = -2 + 2 = 0

Таким образом разность арифметической прогрессии

d = a₂ - a₁ = 0 + 2 =  2

По известной формуле найдем n-й член  арифметической прогрессии

$a_n =a_1 + d\cdot (n-1) = -2 + 2\cdot (n-1) = 2n-4$

Известно, что сумма n членов арифметической прогрессии

$S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n(2)$

Докажем, что выражение (2) тождественно выражению (1) при

a₁ = -2 и $a_n =2n - 4$, подставив  в (2)

$S_n= \dfrac{-2-4 + 2n}{2}\cdot n = \dfrac{-6 + 2n}{2}\cdot n =(n - 3)\cdot n = n^2 - 3n$

Тождество доказано.

Следовательно, последовательность, определённая суммой $S_n = n^2 - 3n$ является  арифметической прогрессией.