Question

Решить Линейное дифференциальное уравнение первого порядка ​

Answer 1

y(x) = (x + x^2/2 + C)(1+x)^2

Объяснение:

$y'-\frac{2y}{1+x} =(1+x)^3$

Это неоднородное уравнение, решается заменой:

y(x) = u(x)*v(x), тогда y'(x) = u'(x)*v(x) + u(x)*v'(x)

$u'*v+u*v'-\frac{2uv}{1+x} =(1+x)^3$      (1)

Вынесем за скобки всё, что можно. У нас это только u:

$u'*v+u(v'-\frac{2v}{1+x}) =(1+x)^3$       (2)

Скобку в левой части приравняем к 0:

$v' - \frac{2v}{1+x}=0$

$\frac{dv}{dx} =\frac{2v}{1+x}$

$\frac{dv}{v} =\frac{2}{1+x}dx$

Получили уравнение с разделёнными переменными, интегрируем:

ln |v| = 2ln |1+x| = ln (1+x)^2

v(x) = (1+x)^2

Подставляем в уравнение (2):

$u'(1+x)^2 + u*0 = (1+x)^3$

Делим всё уравнение на (1 + x)^2:

u' = 1 + x

Интегрируем:

u(x) = x + x^2/2 + C

Делаем обратную замену:

y(x) = u(x)*v(x) = (x + x^2/2 + C)(1+x)^2

Answer 2

$y(x)=0,5(x+1)^{4} +C(x+1)^{2}$

Объяснение:

$y^{'} -\frac{2y}{1+x} =(1+x)^{3}$

Умножим обе части уравнения

$y^{'} (1+x)^{-2}-\frac{2y}{1+x}(1+x)^{-2} =(1+x)^{3}(1+x)^{-2}$

$y^{'} (1+x)^{-2}+y(-2(1+x)^{-3}) =1+x$

$g(x)=(1+x)^{-2}$

$y^{'} g(x)+yg^{'} (x)=1+x$

В левой части уравнения производная произведения

$(y(x)g(x))^{'}=1+x$

$y(x)g(x)=\int\limits{(x+1)} \, dx +C=0,5(x+1)^{2} +C$

$y(x)g(x)=0,5(x+1)^{2} +C$

$y(x)=\frac{0,5(x+1)^{2} +C}{g(x)}= \frac{0,5(x+1)^{2} +C}{(x+1)^{-2}}=0,5(x+1)^{4} +C(x+1)^{2}$