Question

Найти значение бесконечной степенной башни

Answer 1

$\dfrac{W(\ln{100})}{\ln{100}}$

Объяснение:

Пусть $x=0.01^{0.01}^{...}$. Тогда справедливо равенство $x=0.01^x$. Слева монотонно возрастающая функция, справа — монотонно убывающая, значит, уравнение имеет единственный корень. Найдём его.

$x=0.01^x\\\dfrac{x}{0.01^x}=1\\x\cdot 0.01^{-x}=1\\xe^{\ln{0.01^{-x}}}=1\\xe^{x\ln{100}}=1|\cdot \ln{100}\\x\ln{100}\cdot e^{x\ln{100}}=\ln{100}$

Пусть $x\ln{100}=t$:

$te^t=\ln{100}\\W(te^t)=W(\ln{100})\\t=W(\ln{100})\\x\ln{100}=W(\ln{100})\\x=\dfrac{W(\ln{100})}{\ln{100}}$