Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис, значит ОС и OD - биссектрисы. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180°, значит сумма их половинок равна 90°: ∠KDO + ∠KCO = 90°, но тогда в треугольнике ODC угол DOC равен 90°.
ОК - радиус, проведенный в точку касания, значит ОК⊥CD. ОК - высота прямоугольного треугольника ODC, проведенная к гипотенузе. Квадрат высоты прямоугольного треугольника равен произведению отрезков, на которые она разбивает гипотенузу: ОК² = СК · KD = 4 ОК = 2 - радиус окружности.
NL - диаметр, проведенный в точки касания, NL⊥BC, АВ⊥ВС, ⇒ NL║AB, и NL = AB как расстояния между параллельными прямыми.
АВ = NL = 2ОК = 4
Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы противолежащих сторон равны: АВ + CD = AD + BC = 4 + 5 = 9
1) Запишем это уравнение в виде (2x+5)(2y+3)=1 (проверяется раскрытием скобок и делением на 2). Т.к. у 1 есть только два делителя 1 и -1, то возможны только 2 варианта: 2x+5=1, 2у+3=1, откуда х=-2, у=-1 или 2x+5=-1, 2у+3=-1, откуда х=-3, у=-2. ответ: 2 решения.
2) Введем обозначения как на рисунке. Пусть ∠O₁BM=x. BO₁ и BO₂ - биссектрисы углов, сумма которых равна 90°, поэтому ∠O₂BN=45°-x. По свойству касательных BE=BM=ctg(x) и BF=BN=r·ctg(45°-x), откуда BF/BE=r·ctg(45°-x)/ctg(x)=r·tg(x)/tg(45°-x). С другой стороны, BF/BE=AD/AB=tg(2x). Таким образом, r·tg(x)/tg(45°-x)=tg(2x). После несложных преобразований получаем: r=2/(1+tg(x))². Т.к. х изменяется от 0 до 45°, то r может принимать значения от 1/2 до 2.
При значении 7. Потому что если поставить вместо х 7, то в знаменателе получится ноль, а на ноль делить нельзя. Выражение не имеет смысла.