Question

Найдите периметр прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 13 см, а площадь 30 см².

Answer 1

PΔ = 30 cм

Объяснение:

a  и  b  - катеты  

По т. Пифагора (1-ое уравнение)  и  по формуле площади прямоугольного треугольника (2-ое уравнение) получаем систему:

{a² + b² = 13²

{1/2 (ab) = 30

{a² + b² = 169

{ab = 60

(a+b)²=a² + 2ab +b²= a² + b² + 2ab = 169 + 2*60 = 169 + 120 = 289 = 17²

(a+b)² = 17²

1) a + b = 17

2) a + b = -17 - не подходит по смыслу задачи.

{a + b = 17

{ab = 60

a = 17-b

(17-b)b = 60

17b - b²- 60 = 0

b²- 17b + 60 = 0

D = 289 - 240 = 49

b₁ = (17-7)/2 = 5         a₁ = 17 - 5 = 12

b₂ = (17+7)/2 = 12      a₂ = 17 - 12 = 5

PΔ = 12 + 5 + 13 = 30 (cм) - периметр.

Answer 2

$30$ см

Объяснение:

$a$ - один из катетов треугольника. Тогда второй катет $30\cdot2:a=\frac{60}a$. По теореме Пифагора $13^2=a^2+(\frac{60}a)^2=a^2+\frac{3600}{a^2} \Rightarrow a^4+3600 = 169a^2\Rightarrow (a^2)^2-169a^2+3600=0\Rightarrow a^2=\frac{169\pm\sqrt{169^2-4\cdot3600}}2=\frac{169\pm119}2=\{144,~25\}\Rightarrow a=\{-12,~-5,~5,~12\}$

Катеты $a0$, значит подходят только $a=\{5,~12\}$. Второй катет $\{12,~5\}$ соответственно, значит, периметр $5+12+13=30$ см