Определенная на интервале I функция f называется выпуклой (выпуклой вниз) на I, если для любых x′,x′′∈I и любого числа λ(0<λ<1) выполняется неравенство
f(λx′+(1−λ)x′′)⩽λf(x′)+(1−λ)f(x′′).
С геометрической точки зрения смысл выпуклости состоит в том, что все точки дуги графика функции y=f(x) расположены не выше хорды, соединяющей концы этой дуги. Действительно, отрезок, соединяющий точки (x′,f(x′)) и (x′′,f(x′′)), имеет вид
l(x)=f(x′)+
f(x′′)−f(x′)
x′′−x′
(x−x′).
При 0<λ<1 точка x=λx′+(1−λ)x′′ принадлежит интервалу с концами x′ и x′′. При этом неравенство, определяющее понятие выпуклости, принимает такой вид: f(x)⩽l(x).
Обозначим x=λx′+(1−λ)x′′. Тогда λ=
x′′−x
x′′−x′
,1−λ=
x−x′
x′′−x′
. Поэтому определение выпуклости можно переписать в таком виде: функция f называется выпуклой на интервале I, если для любых точек x′,x′′∈I, таких, что x′<x′′, и для любого x∈[x′,x′′]справедливо неравенство
f(x)⩽f(x′)
x′′−x
x′′−x′
+f(x′′)
x−x′
x′′−x′
.
Если в определении выпуклости нестрогое неравенство заменить строгим, то получим определение строгой выпуклости вниз. С геометрической точки зрения строгая выпуклость означает, что, кроме выпуклости, график функции не содержит линейных отрезков.
12 км/час; 15 км/час
Объяснение:
1) Пусть х км/час - скорость первого велосипедиста, а у км/час - скорость второго велосипедиста.
Выразим время сближения в часах:
20 минут : 60 минут = 1/3 часа
Тогда скорость сближения велосипедистов равна
х + у = 9 : (1/3) = 9 · 3
х + у = 27 км/час.
2) Так как расстояние между сёлами равно 9 км, а один велосипедист догонял другого в течение 3-х часов, то это значит, что его скорость на
9 : 3 = 3 км/час больше скорости другого.
То есть:
х - у = 3, откуда
х = 3 + у.
Так как х + у = 27, то
(3 + у) + у = 27
2 у = 27 - 3 = 24
у = 12 км/час
Откуда х = 27 - 12 = 15 км/час
ответ: скорость одного велосипедиста 12 км/час, скорость другого велосипедиста 15 км/час.