Найдите значение m, зная, что функция y=0,5(x-m)²: а) убывает на (-∞;6] и возрастает на [6;+∞) б) убывает на (-∞;-4] и возрастает на [-4;+∞) решение и обьеснить
Для того чтобы найти значение m, зная условие о убывании и возрастании функции, нам необходимо разобрать оба условия по отдельности и найти общее решение.
а) Функция убывает на (-∞;6] и возрастает на [6;+∞):
Первое условие говорит нам, что функция убывает на интервале (-∞;6]. Это означает, что при увеличении x значения функции (y) уменьшаются.
Используя это условие, мы можем составить неравенство для данного интервала: 0,5(x-m)² ≤ 0, где x ≤ 6.
Обратите внимание, что мы заменили знак неравенства на ≤, так как функция убывает.
После этого мы можем разложить квадратное уравнение в виде:
(x-m)² ≤ 0.
Квадратные уравнения имеют только положительные значения, поэтому единственное решение данного уравнения будет x-m = 0, что означает, что x = m.
Таким образом, условие убывания функции на интервале (-∞;6] приводит к тому, что m = 6.
Проверим это решение, подставив его в исходное уравнение:
y = 0,5(x-m)² = 0,5(x-6)².
При x = 0, значение функции будет равно: y = 0,5(0-6)² = 0,5*(-6)² = 0,5*36 = 18.
При x = 6, значение функции будет равно: y = 0,5(6-6)² = 0.
Строго говоря, при x = 6 значение функции не уменьшается, но удовлетворяет условию убывания на интервале (-∞;6]. Поэтому решение верно.
б) Функция убывает на (-∞;-4] и возрастает на [-4;+∞):
Теперь мы знаем, что функция убывает на интервале (-∞;-4] и возрастает на интервале [-4;+∞].
Подобно первому случаю, мы можем составить неравенство для первого интервала: 0,5(x-m)² ≤ 0, где x ≤ -4.
Разложив квадратный корень, мы получим равенство: (x-m)² ≤ 0.
Так как функция убывает на данном интервале, единственным решением будет x = m.
Следовательно, m должно быть меньше или равно -4.
Проверим это решение, подставив его в исходное уравнение:
y = 0,5(x-m)² = 0,5(x-(-4))² = 0,5(x+4)².
При x = -5, значение функции будет равно: y = 0,5((-5)+4)² = 0,5*(0)² = 0.
При x = -4, значение функции будет равно: y = 0,5((-4)+4)² = 0.
Заметим, что при x = -4 значение функции не уменьшается, но удовлетворяет условию убывания на интервале [-4;+∞]. Поэтому решение верно.
В обоих случаях мы получили значения m, удовлетворяющие условиям убывания и возрастания функции.
В итоге, значение m для первого случая равно 6, а для второго случая меньше или равно -4, что значит, что m ∈ (-∞;-4].
а) Функция убывает на (-∞;6] и возрастает на [6;+∞):
Первое условие говорит нам, что функция убывает на интервале (-∞;6]. Это означает, что при увеличении x значения функции (y) уменьшаются.
Используя это условие, мы можем составить неравенство для данного интервала: 0,5(x-m)² ≤ 0, где x ≤ 6.
Обратите внимание, что мы заменили знак неравенства на ≤, так как функция убывает.
После этого мы можем разложить квадратное уравнение в виде:
(x-m)² ≤ 0.
Квадратные уравнения имеют только положительные значения, поэтому единственное решение данного уравнения будет x-m = 0, что означает, что x = m.
Таким образом, условие убывания функции на интервале (-∞;6] приводит к тому, что m = 6.
Проверим это решение, подставив его в исходное уравнение:
y = 0,5(x-m)² = 0,5(x-6)².
При x = 0, значение функции будет равно: y = 0,5(0-6)² = 0,5*(-6)² = 0,5*36 = 18.
При x = 6, значение функции будет равно: y = 0,5(6-6)² = 0.
Строго говоря, при x = 6 значение функции не уменьшается, но удовлетворяет условию убывания на интервале (-∞;6]. Поэтому решение верно.
б) Функция убывает на (-∞;-4] и возрастает на [-4;+∞):
Теперь мы знаем, что функция убывает на интервале (-∞;-4] и возрастает на интервале [-4;+∞].
Подобно первому случаю, мы можем составить неравенство для первого интервала: 0,5(x-m)² ≤ 0, где x ≤ -4.
Разложив квадратный корень, мы получим равенство: (x-m)² ≤ 0.
Так как функция убывает на данном интервале, единственным решением будет x = m.
Следовательно, m должно быть меньше или равно -4.
Проверим это решение, подставив его в исходное уравнение:
y = 0,5(x-m)² = 0,5(x-(-4))² = 0,5(x+4)².
При x = -5, значение функции будет равно: y = 0,5((-5)+4)² = 0,5*(0)² = 0.
При x = -4, значение функции будет равно: y = 0,5((-4)+4)² = 0.
Заметим, что при x = -4 значение функции не уменьшается, но удовлетворяет условию убывания на интервале [-4;+∞]. Поэтому решение верно.
В обоих случаях мы получили значения m, удовлетворяющие условиям убывания и возрастания функции.
В итоге, значение m для первого случая равно 6, а для второго случая меньше или равно -4, что значит, что m ∈ (-∞;-4].