Question

Сделайте . Если есть ответы на эту тему напишите

Answer 1

$\frac{1 + \sqrt{x} + x}{1 + \sqrt{x} } = \frac{1 + \sqrt{x} + x }{1 + \sqrt{x} } \times \frac{1 - \sqrt{x} }{1 - \sqrt{x} } = \frac{(1 + \sqrt{x} + x)(1 - \sqrt{x}) }{(1 + \sqrt{x} )(1 - \sqrt{x}) } = \frac{ {1}^{3} - {( \sqrt{x} )}^{3} }{1 - x} = \frac{1 - x \sqrt{x} }{1 - x}$

Пояснение:

Выражения такого типа, когда в знаменателе сумма или разность числа и числа под корнем, избавляются от иррациональности простым методом. Вспоминаем формулу сокращенного умножения, разность квадратов:

${a}^{2} - {b}^{2} = (a - b)(a + b)$. В нашем примере в знаменателе сумма, то есть $(a + b)$ из формулы. Нам нужно найти $(a - b)$ и умножить на это дробь, чтобы потом получилось ${a}^{2} - {b}^{2}$, а ${( \sqrt{x} )}^{2} = x$, получится просто число, таким образом избавимся от корня в знаменателе. В нашем случае $a$ — это $1$, $b$ — это $\sqrt{x}$. Соответственно, $(a - b)$ — это $(1 - \sqrt{x} )$.

Важно отметить, что нужно умножить наше выражение не просто на $(1 - \sqrt{x} )$, а на $\frac{1 - \sqrt{x} }{1 - \sqrt{x} }$, потому что $\frac{1 - \sqrt{x} }{1 - \sqrt{x} } = 1$, а при умножении на 1 значение выражения не измениться. Если умножить просто на $(1 - \sqrt{x} )$ значение выражения поменяется.

Вот, собственно, и всё правило.

Ещё, после второго действия, второго =, была использована формула сокращённого умножения — разность кубов:

${a}^{3} - {b}^{3} = (a - b)( {a}^{2} + ab + {b}^{2} )$. У нас $a = 1$, $b = \sqrt{x}$. И получается

${1}^{3} - {( \sqrt{x} )}^{3} = (1 - \sqrt{x} )( {1}^{2} + 1 \times \sqrt{x} + \sqrt{x} \times \sqrt{x} ) = (1 - \sqrt{x} )(1 + \sqrt{x} + x)$.