Question

Точка X делит сторону CD в отношении CX:XD=2:1, точка Y делит сторону DB в отношении DY:YB=2:1. Разложи вектор XY−→ по векторам DC−→− и DB−→−: XY−→=⋅DC−→−⋅DB−→−.

Answer 1

Для разложения вектора XY→ по векторам DC→− и DB→−, нам нужно найти сумму векторов, пропорциональных этим отрезкам.

Сначала найдем координаты точек X и Y.
Так как точка X делит сторону CD в отношении CX:XD=2:1, то координаты X можно найти как:
X = (1/3)*C + (2/3)*D

Аналогично, координаты точки Y можно найти как:
Y = (2/3)*D + (1/3)*B

Теперь найдем вектор XY→:
XY→ = Y - X
= ((2/3)*D + (1/3)*B) - ((1/3)*C + (2/3)*D)
= (1/3)*B - (1/3)*C

Теперь разложим вектор XY→ по векторам DC→− и DB→−.

Разложение вектора XY→ по вектору DC→−:
Для этого нужно найти проекцию вектора XY→ на вектор DC→−. Формула для проекции вектора a на вектор b:
proj_b(a) = (a * b) / |b|

Где a * b - скалярное произведение векторов a и b, и |b| - длина вектора b.

В данном случае имеем:
a = XY→ = (1/3)*B - (1/3)*C
b = DC→− = C - D

Теперь вычислим проекцию:
proj_DC-→ (XY→) = ((1/3)*B - (1/3)*C * (C - D)) / |C - D|

Поскольку вектор DC−→− направлен от точки C к точке D, его длина равна:
|C - D| = sqrt((Dx - Cx)^2 + (Dy - Cy)^2)

Теперь можно вычислить проекцию:
proj_DC-→ (XY→) = ((1/3)*Bx - (1/3)*Cx) * (Dx - Cx) + ((1/3)*By - (1/3)*Cy) * (Dy - Cy) / sqrt((Dx - Cx)^2 + (Dy - Cy)^2)

Аналогично, для разложения вектора XY→ по вектору DB→−, найдем проекцию вектора XY→ на вектор DB→−:
proj_DB-→ (XY→) = ((1/3)*Cx - (1/3)*Bx) * (Bx - Dx) + ((1/3)*Cy - (1/3)*By) * (By - Dy) / sqrt((Bx - Dx)^2 + (By - Dy)^2)

Итак, мы разложили вектор XY→ по векторам DC→− и DB→−. Полученные формулы для проекций можно вычислить, подставив известные координаты точек C, D и B.