Question

3. а) Сколько членов содержит бином Ньютона (2a+ 3b)⁴ Б) Определите номер члена биномиального разложения с наибольшим коэффициентом c) Запишите член с наибольшим коэффициентом.

Answer 1

Для бинома

$(x + y)^{n}$

справедливы следующие утверждения:

1. Степени x начинаются со степени бинома n и уменьшаются до 0; степени y начинаются с 0 и увеличиваются до n. Последний член не имеет множителя x. Первый член не имеет множителя y, т.е.

2. Коэффициенты начинаются с 1 и увеличиваются на определенные значения (до среднего члена), а потом уменьшаются на те же значения обратно к 1.

3. Бином содержит n+1 членов

4. k-ый член можно найти следующим образом:

$C_{n}^{k－1} \times {x}^{n - k + 1} \times {y}^{k - 1}$

5. Средний член в биноме чётной степени находится по формуле:

$C_{n}^{\frac {n}{2}} \times ({x} {y})^{ \frac{n}{2} }$

На основе теории решим данную задачу:

a) 4 + 1 = 5

b) 3. коэффициент этого члена выглядит так:

$C_{4}^{2} {(3 \times 4 \times x \times y)}^{2} = 216$

с) Из предыдущего пункта:

$216 {a}^{2} {b}^{2}$

Примечание: Коэффициент при члене ab³ для данного бинома также равен 216