Question

Найти все корни уравнения sin x/2 = √3/2 , удовлетворяющие неравенству: log (х-4π) по основанию π < 1.

Answer 1

1) Сначала решим уравнение.  x/2 = (-1)^n * (pi/3) + pi n.

x = (-1)^n*(2pi/3) + 2pi n, n принадлежит Z

Если n - четное, т.е. n=2k, то x/2 = pi/3 + 2pi k,  x = 2pi/3 + 4pi k.  Если n - нечетное, т.е. n = 2k + 1, то x/2 = -pi/3  +(2k+1) pi = -pi/3 +2pi k + pi = 2pi/3 + 2pi k,  

x = 4pi/3 + 4pi k

2) Решим неравенство. Так основание pi>1, то x - 4pi < pi, x < 5pi. ОДЗ неравенства:

x - 4pi > 0,  x>4pi. Совмещаем выделенные неравенства: 4pi < x < 5pi

3) Отбор корней.  а)  4pi < 2pi/3 + 4pi k < 5pi,  4 < 2/3 +4k < 5,  12 < 2 + 12k < 15,

10 <12k < 13,  5/6 < k < 13/12. Отсюда k = 1 и x = 2pi/3 + 4pi = 14pi/3

б)  4pi < 4pi/3 + 4pi k < 5pi,  4 < 4/3 +4k < 5,  12 < 4 +12k < 15,  8 < 12k < 11,

2/3 < k < 11/12, так как к - целое число, то здесь решений нет.

Тогда ответ: а) решение уравнения x = (-1)^n*(2pi/3) + 2pi n, n принадлежит Z

б) корни, удовлетворяющие логарифмическому неравенству x = 14pi/3