Question

Вычислите площади плоских фигур, ограниченных линиями$y=-x^{2} +1,y=-x+1$

Answer 1

$\frac{1}{6}$ кв.ед

Объяснение:

приравняем чтоб найти точки пересечения

$-x^2+1=-x+1\\-x^2+x=0\\x(x-1)=0\\x_1=0\\x_2=1$

построим график (фото)

1) $y=-x^2+1$ ветви вниз

парабола

Вершина параболы $x_0=0\\y_0=y(x_0)=1$

2) y=-x+1

прямая

по рисунку видно a=0, b=1

чтобы найти площадь того участка, мы большую площадь параболы, и отнимем меньшую площадь прямой в промежутке от 0 до 1, и ограниченной y=0

F(x)=$\int\limits^1_0 {-x^2+1} \, dx$

G(x)=$\int\limits^1_0 {-x+1} \, dx$

S=F(x)-G(x)=$\int\limits^1_0 {-x^2+1} \, dx -\int\limits^1_0 {-x+1} \, dx =((-\frac{x^3}{3}+x)\int\limits^1_0)-((-\frac{x^2}{2} +x)\int\limits^1_0)=(-\frac{1^3}{3}+1)-(-\frac{1^2}{2}+1)=1-\frac{1}{3}-1+\frac{1}{2}=\frac{1}{2} -\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}$ кв. ед.