Question

Упростите тригонометрические функции: cos2(П-t)+sin2(t-П)

Answer 1

Для упрощения выражения, мы можем воспользоваться тригонометрической формулой сложения:

cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB
sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB

В данном случае, у нас есть следующее выражение: cos2(П-t) + sin2(t-П)

Посмотрим на первое слагаемое: cos2(П-t). Согласно формуле сложения, мы можем записать его как:

cos2(П-t) = cos(П) * cos(t) - sin(П) * sin(t)

Теперь посмотрим на второе слагаемое: sin2(t-П). Снова используем формулу сложения:

sin2(t-П) = sin(t) * cos(П) + cos(t) * sin(П)

Теперь мы можем заменить выражения в исходном уравнении:

cos2(П-t) + sin2(t-П) = (cos(П) * cos(t) - sin(П) * sin(t)) + (sin(t) * cos(П) + cos(t) * sin(П))

Сгруппируем слагаемые по типу:

cos2(П-t) + sin2(t-П) = cos(П) * cos(t) + sin(t) * cos(П) - sin(П) * sin(t) + cos(t) * sin(П)

Теперь, сгруппируем по синусам и косинусам:

cos2(П-t) + sin2(t-П) = (cos(П) * cos(t) + sin(П) * sin(t)) + (sin(t) * cos(П) + cos(t) * sin(П))

Теперь заметим, что первая скобка представляет из себя cos(A + B), где A = П и B = t:

cos2(П-t) + sin2(t-П) = cos(П + t) + (sin(t) * cos(П) + cos(t) * sin(П))

Используя формулы сокращенных углов, мы можем преобразовать последнее слагаемое:

cos2(П-t) + sin2(t-П) = cos(П + t) + (sin(t + П))

Теперь вернемся к изначальному уравнению:

cos2(П-t) + sin2(t-П)

= cos(П + t) + sin(t + П)

Используя формулу сложения для косинуса и синуса, можем записать:

cos2(П-t) + sin2(t-П) = cos(П + t) + sin(t + П)

= cos(П) * cos(t) - sin(П) * sin(t) + sin(t) * cos(П) + cos(t) * sin(П)

Объединим подобные слагаемые:

cos2(П-t) + sin2(t-П) = sin(t) * cos(П) + cos(t) * sin(П) + cos(П) * cos(t) - sin(П) * sin(t)

Теперь мы можем заметить, что выражение sin(t) * cos(П) + cos(t) * sin(П) представляет собой sin(A + B), где A = t и B = П:

cos2(П-t) + sin2(t-П) = sin(t) * cos(П) + cos(t) * sin(П) + cos(П) * cos(t) - sin(П) * sin(t)

= sin(t + П) + cos(П) * cos(t) - sin(П) * sin(t)

= sin(t + П) + cos(t) * cos(П) - sin(t) * sin(П)

Таким образом, упрощенное выражение для cos2(П-t) + sin2(t-П) равно sin(t + П) + cos(t) * cos(П) - sin(t) * sin(П).