Question

Дана матрица: А=$\left[\begin{array}{ccc}3&4&5\\-3&-3&-4\\-3&-3&-3\end{array}\right]$
Докажите что она имеет обратную А^-1 и найдите элемент обратной матрицы стоящей в строчке 3 и столбце 1.
В ответ введите значение этого элемента. Не целое значение округлите до трёх значащих цифр десятичной дроби.

Answer 1

Для доказательства того, что матрица А имеет обратную А^-1, необходимо проверить два условия:
1. Определитель матрицы А должен быть отличен от нуля.
2. Матрица А должна быть квадратной.

Для начала, проверим, является ли матрица А квадратной. В матрице А имеется 3 строки и 3 столбца, поэтому она является квадратной.

Затем, вычислим определитель матрицы А. Определитель обозначается как |А|.

|А| = 3 * (-3) * (-3) + 4 * (-3) * (-3) + 5 * (-4) * (-3) -
(-3) * (-3) * 5 - (-3) * 4 * (-3) - 3 * (-4) * 3
= 27 - 36 - 60 + 45 + 36 - 36
= -24

Так как определитель матрицы А не равен нулю (определитель равен -24), то матрица А имеет обратную матрицу А^-1.

Для нахождения элемента обратной матрицы, стоящего в 3-й строке и 1-м столбце (элемент А^-1[3,1]), мы можем использовать формулу:

А^-1[3,1] = ((-1) ^ (3+1)) * (минор 3,1) / |А|

где (-1) ^ (3+1) - это знак элемента, минор 3,1 - это определитель матрицы, полученной из матрицы А вычёркиванием 3-й строки и 1-го столбца, и |А| - определитель матрицы А.

Вычислим минор 3,1:

Минор 3,1 = (-3) * (-3) - (-3) * 4 = 9 + 12 = 21

Теперь можем найти элемент А^-1[3,1]:

А^-1[3,1] = ((-1) ^ (3+1)) * (минор 3,1) / |А|
= ((-1) ^ 4) * 21 / (-24)
= 1 * 21 / (-24)
= -21 / 24

Ответ: элемент обратной матрицы, стоящей в 3-й строке и 1-м столбце, равен -21 / 24. Если округлить это значение до трёх значащих цифр десятичной дроби, получим -0.875.