Геометрическое место точек, находящихся на расстоянии 3 единицы от заданной точки А(2; 5; -1) - это сфера радиусом 3 с центром в точке А.
Её уравнение (x - 2)² + (y - 5)² + (z + 1)² = 9.
Эта сфера пересекается плоскостью, параллельной XOZ на расстоянии 4 единицы от неё.
В результате имеем окружность как линию пересечения сферы плоскостью.
Подставим у = 4 в уравнение сферы и получаем уравнение окружности в плоскости, параллельной XOZ:
(x - 2)² + (4 - 5)² + (z + 1)² = 9.
(x - 2)² + 1 + (z + 1)² = 9.
(x - 2)² + (z + 1)² = 8. Это и есть ответ.
условием экстремума функции является равенство нулю её первой производной
f(a,b,c) = a²+b²+c²−ab−bc−c
берем производные по каждому аргументу и приравниваем 0
f'(a) = 2a - b
2a - b = 0
a = b/2
f'(b) = 2b - a - c
2b - a - c = 0
2b = a + c
2b = b/2 + c
c = 3b/2
b = 2c/3
f'(c) = 2c - b - 1
2c - b - 1 = 0
4/3c = 1
c = 3/4
итак
a = b/2 a = 1/4
b = 2c/3 b = 2*3/4 : 3 = 1/2
c = 3/4
fmin(1/4, 1/2, 3/4) = (1/4)² + (1/2)² + (3/4)² - 1/2*1/4 - 1/2*3/4 - 3/4 = 1/16 + 1/4 + 9/16 - 1/8 - 3/8 - 3/4 = 1/16 + 4/16 + 9/16 - 2/16 - 6/16 - 12/16 = -6/16 = - 3/8
min = -3/8