М
Молодежь
К
Компьютеры-и-электроника
Д
Дом-и-сад
С
Стиль-и-уход-за-собой
П
Праздники-и-традиции
Т
Транспорт
П
Путешествия
С
Семейная-жизнь
Ф
Философия-и-религия
Б
Без категории
М
Мир-работы
Х
Хобби-и-рукоделие
И
Искусство-и-развлечения
В
Взаимоотношения
З
Здоровье
К
Кулинария-и-гостеприимство
Ф
Финансы-и-бизнес
П
Питомцы-и-животные
О
Образование
О
Образование-и-коммуникации
Barbara7264
Barbara7264
20.11.2021 08:19 •  Алгебра

Докажите, используя принцип математической индукции, что для любого натурального числа n верно равенство: Решите


Докажите, используя принцип математической индукции, что для любого натурального числа n верно равен

👇
Ответ:
alena7a1
alena7a1
20.11.2021
Добрый день, я готов выступить в роли школьного учителя и решить вашу задачу!

Чтобы доказать это равенство, мы воспользуемся принципом математической индукции. Принцип математической индукции используется для доказательства утверждений, которые зависят от натурального числа n.

Шаг 1: База индукции
В базе индукции мы проверяем, выполняется ли равенство для наименьшего значения n, то есть n = 1.
Подставим n = 1 в данное равенство:
(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 1^2 + n^2) = (n*(n+1)*(2n+1))/6
(1^2) = (1*(1+1)*(2*1+1))/6
1 = (1*2*3)/6
1 = 6/6
1 = 1

Таким образом, равенство выполняется при n = 1.

Шаг 2: Предположение индукции
Мы предполагаем, что равенство выполняется для некоторого числа k, то есть предполагаем, что (1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 1^2 + k^2) = (k*(k+1)*(2k+1))/6.

Шаг 3: Индукционный переход
Мы должны доказать, что если равенство выполняется для числа k, то оно также выполняется для k + 1.
Подставим n = k + 1 в данное равенство:
(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 1^2 + k^2 + (k + 1)^2) = (k + 1)*((k + 1) + 1)*(2(k + 1) + 1))/6
(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 1^2 + k^2 + (k + 1)^2) = (k + 1)*(k + 2)*(2k + 3))/6

Мы можем заметить, что левая часть равенства (1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 1^2 + k^2 + (k + 1)^2) соответствует сумме первых (k + 1) квадратов, а правая часть равенства ((k + 1)*(k + 2)*(2k + 3))/6 соответствует формуле для суммы первых (k + 1) квадратов.

По нашему предположению индукции, левая часть равенства равна ((k*(k+1)*(2k+1))/6 + (k + 1)^2) = ((k*(k+1)*(2k+1) + 6(k + 1)^2))/6.

Теперь мы можем преобразовать это равенство:
((k*(k+1)*(2k+1) + 6(k + 1)^2))/6 = ((k + 1)*((k*(2k+1))/6 + 6(k + 1)))/6 = ((k + 1)*((k*(2k+1) + 36(k + 1)))/6.

Таким образом, мы получаем: ((k + 1)*((k*(2k+1) + 36(k + 1)))/6 = (k + 1)*(k + 2)*(2k + 3))/6.

Таким образом, равенство выполняется для n = k + 1.

Шаг 4: Заключение
Мы доказали, что используя принцип математической индукции, для любого натурального числа n выполняется равенство (1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 1^2 + n^2) = (n*(n+1)*(2n+1))/6.

Я надеюсь, что данное объяснение помогло вам понять решение данной задачи! Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.
4,7(91 оценок)
Проверить ответ в нейросети
Это интересно:
Новые ответы от MOGZ: Алгебра
logo
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси Mozg
Открыть лучший ответ