Question

Как делается часть б) ? научите меня ! ) в части а) выходит п/4+пn tg=1 а) решите уравнение 15cosx=3cosx·5sinx.б) найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π; 13π2].

Answer 1

Существует много сделать это, распишу самые распространённые, а также порекомендую, какой и когда лучше использовать.
1)Метод тупого перебора, как я называю. Суть в том, что в формуле корней пи/4 + пиn, у нас есть целочисленный параметр n. Если мы последовательно будем придавать ему разные значения, то из этой серии решений будем получать конкретные корни. Далее проверим просто, принадлежит ли полученный корень к заданному отрезку, или нет. Итак,
1)n = 0, тогда x = пи/4 + 0 = пи/4 - ясно, что данный корень не входит в нужный отрезок. Продолжаем перебор.
2)n = 1 x = пи/4 + пи = 5пи/4 - не входит. Продолжаем.
Ну и так далее. Не буду продолжать дальше. Просто придавай n какие-то целые значения, получай корень, проверяй, принадлежит ли он указанному отрезку. На каком-то этапе полученный корень войдёт в отрезок, выписывай их все.
Но этот редко используется, так как промежутки могут дать довольно сложные. Существует ещё довольно хороший отбора корней: метод неравенств.
2)Суть его в том, что учитывая, что искомые корни входят в заданный отрезок, мы можем составить такое неравенство:
            5пи <=  пи/4 + пиn <= 13пи/2
Ну, вполне логично. Далее мы решаем его относительно n. Не забываем, что n у нас - целое число.
                           19пи/4 <= пиn <= 25пи/4
                                       19/4 <= n <= 25/4
Какие же целые n удовлетворяют нашему неравенству? Очевидно, что n = 5; n = 6
Итак, в чём удобство этого метода? Мы сразу нашли те n, при которых получим нужные корни, не перебирая n. Осталось подставить вместо n 5 и 6 в серию решений.
n = 5  x = пи/4 + 5пи = 21пи/4
n = 6 x = пи/4 + 6пи = 25пи/4
Оба корня и пишем в ответ под буковкой б.

3)Метод отбора с единичной окружности. Все иллюстрации я привёл. Рассмотрим первую, которая иллюстрирует первый этап. Мы должны нанести корни всех серий решений на окружность. В данном случае, что мы видим? У нас основная точка пи/4, её мы отмечаем, это серединка первой четверти. Далее по серии решений последовательно прибавляем +пи, +пи, +пи, +пи,то есть пиn, а это полкруга. Итак, каждый последующий корень получается из пи/4 путём передвижения на полокружности против часовой стрелки. Это первый этап задачи.
Вторым этапом будет нанести сам промежуток на окружность и отобрать корни. Здесь поподробнее остановлюсь.
Нанесём левую границу отрезка, то есть 5пи. 5пи - это сколько? Мы идём против часовой стрелки один круг, то есть 2пи, проходим ещё один круг в ту же сторону, то есть ещё 2пи, то есть мы уже 4пи, да ещё пи проходим, это полокружности. Останавливаемся в нужной точке. Это диаметрально противоположная точке 0 точка. Нанесём угол 13пи/2. Как нетрудно увидеть, 13пи/2 = 10пи/2 + 3пи/2 = 5пи + 3пи/2. То есть, мы от точки 5пи должны в ту же сторону пройти ещё 3пи/2, как ты помнишь, это ровно 3 четверти. Останавливаемся там, где останавливаемся.
Дальше мы видим, какой промежуток нужно рассматривать. Его я выделил синей линией. У нас на данном промежутке, и это отлично видно, будет ровно 2 корня.
Я начинаю идти от 5пи до 13пи/2, собирая по дороге всё, что мне попадётся. Первой идёт нижняя красная точка. Суть в том, чтобы правильно написать, какому корню она соответствует. Видно хорошо, что мы можем придти в эту точку, если из 5пи переместимся ещё на полчетвертинки, то есть на пи/4. То есть, наш корень равен 5пи + пи/4 = 21пи/4