. 2. Производители запасных деталей выявили, что в одном из цехов 30% производимых деталей имеют дефект. Во время очередной проверки инспектор выбирает 5 деталей из партии произведенной в этом цеху. Найдите вероятность того, что инспектору попадутся две детали с дефектом. ответ округлите до тысячных. 3. В корзине А лежит 54 белых и 3 черных шара. Корзина В содержит 3 белых и 5 черных шара. С каждой корзины вытаскивают по одному шару, затем возвращают. a) Вычислите вероятность того, оба шара белые. b) Из корзины А извлекают по очереди два шара, не возвращая их. Найдите вероятность того, что оба шара будут черными.
1. Вероятность того, что инспектору попадутся две детали с дефектом.
Для решения этой задачи нам понадобятся два понятия: вероятность и комбинаторика.
В данной задаче у нас есть два исхода: либо деталь имеет дефект, либо деталь не имеет дефекта. Вероятность того, что деталь имеет дефект, составляет 30% или 0,3. Вероятность того, что деталь не имеет дефекта, равна 1 - 0,3 = 0,7.
Для определения вероятности выбора двух деталей с дефектом из пяти, нам понадобится понятие сочетания. Формула для нахождения числа сочетаний из n по k выглядит следующим образом:
C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)
где n - общее количество элементов, k - количество выбираемых элементов, а знак ! обозначает факториал числа (произведение всех положительных целых чисел от 1 до этого числа). Теперь приступим к решению задачи.
Для того, чтобы найти вероятность выбора двух деталей с дефектом из пяти, необходимо найти число сочетаний 2 из 5 (так как нам нужно выбрать две детали с дефектом из пяти возможных):
C(5, 2) = 5! / (2! * (5 - 2)!) = 10
Поскольку нам необходимо найти вероятность выбора двух деталей с дефектом, мы делим найденное число сочетаний на общее число сочетаний (число сочетаний 2 из 5 * число сочетаний 3 из 5), так как нам не важен порядок выбора:
P = C(5, 2) / (C(5, 2) * C(5, 3)) = 10 / (10 * 10) = 0,1
Таким образом, вероятность того, что инспектору попадутся две детали с дефектом, равна 0,1 или 10%.
2. Вероятность того, что оба шара белые.
Для решения этой задачи также используется комбинаторика.
a) Вероятность того, что первый шар, взятый из корзины А, будет белым, равна 54 / (54 + 3) = 54 / 57.
Вероятность того, что второй шар, взятый из корзины В, будет белым, также равна 3 / (3 + 5) = 3 / 8.
Поскольку два шара выбираются независимо друг от друга, вероятность того, что оба шара будут белыми, определяется их произведением:
P = (54 / 57) * (3 / 8) = 162 / (57 * 8) = 0,358
Ответ: вероятность того, что оба шара будут белыми, равна 0,358 или 35,8%.
b) Для решения этой части задачи снова используем комбинаторику.
Вероятность того, что первый шар, взятый из корзины А, будет черным, равна 3 / (54 + 3) = 3 / 57.
После выбора черного шара из корзины А, в ней остается 53 белых и 3 черных шара.
Вероятность того, что второй шар, взятый из корзины А, также будет черным, равна 2 / (53 + 3) = 2 / 56.
Поскольку два шара выбираются без возвращения, вероятность того, что оба шара будут черными, также определяется их произведением:
P = (3 / 57) * (2 / 56) = 6 / (57 * 56) = 0,0197
Ответ: вероятность того, что оба шара будут черными, равна 0,0197 или 1,97%.