Задание 1. (4 б) Три числа, из которых третье равно 27, образуют геометрическую прогрессию. Если вместо 27 взять 15, то эти числа составят арифметическую прогрессию. Найдите эти числа.
Для начала найдём, при каких значениях m корни вообще есть. Для этого D≥0. Решая методом интервалов, получаем: . Это наша ОДЗ.
По теореме Виета Попробуем подогнать сумму квадратов корней под теорему Виета: Подставляем: Это парабола, ветви направлены вверх, значит, её точка минимума находится в её вершине. Если она принадлежит ОДЗ, то это и будет ответом, если нет - то либо 0, либо 0.75 (концы отрезков ОДЗ). - не подходит. Проверяем концы отрезков: При m = 0 сумма квадратов корней будет равна 2. При m = 0.75 сумма квадратов корней будет равна . Подходит первый вариант.
x^2+(m-3)x+m^2-6m-9.75=0 x^2+(m-3)x+m^2-6m+9-18.75=0 x^2+(m-3)x+(m-3)^2-18.75=0 D=(m-3)^2-4*((m-3)^2-18.75)=75-3*(m-3)^2=3*(5^2-(m-3)^2) решения действительны значит D>=0 значит -5 <= m-3 <= 5 значит -2 <= m <= 8 причем при m=-2 и m=8 имеем по одному корню вместо двух теперь т.Виетта x1+х2=-(m-3) x1*x2=(m-3)^2-18.75 x1^2+х2^2=(x1+х2)^2-2*x1*x2 = (m-3)^2-2(m-3)^2+2*18.75 = 37,5-(m-3)^2 поиск минимума функции f(m) = 37,5-(m-3)^2 на участке [-2;8] дает результат что 37,5-(m-3)^2 принимает максимальное значение при m=3 и равно 37.5 и что 37,5-(m-3)^2 принимает минимальное значение при m=-2 и m=8 и оно равно 13 заметим также что при m=-2 корень единственный х=-(m-3)/2=2,5; и сумма квадратов корней x^2=6,25 и при m=8 тоже корень единственный х=-(m-3)/2=-2,5; и сумма квадратов корней x^2=6,25 из вариантов m=-2 и m=8 выбираем максимальный m=8 - это ответ
![m\in(-\infty; 0]\cup[0.75; +\infty)](/tpl/images/0849/1100/e8c94.png)
. Это наша ОДЗ.
- не подходит. Проверяем концы отрезков:
. Подходит первый вариант.
Объяснение:
45,75