Question

Дана функция $f(x) \frac{x \sqrt{x} + 2 \sqrt{2} }{ \sqrt{x} + \sqrt{2} } .x 0$
а) покажите, что , где a,b - постоянные

b) найдите f'(x)

c) вычислите f'(2)

$f(x) = x +{(ax)}^{ \frac{1}{2} } + b$

Answer 1

a) Чтобы показать, что функция f(x) может быть записана в виде f(x) = x + (ax)^(1/2) + b, где a и b - постоянные, мы должны показать, что выражение x + (ax)^(1/2) + b равно выражению (x * sqrt(x) + 2 * sqrt(2)) / (sqrt(x) + sqrt(2)).

Для начала, давайте приведем оба выражения к общему знаменателю. Мы видим, что x + (ax)^(1/2) + b может быть записано как:

(x * sqrt(x) + 2 * sqrt(2)) / (sqrt(x) + sqrt(2)) * ((sqrt(x) - sqrt(2))/(sqrt(x) - sqrt(2))).

Теперь, давайте упростим это выражение:

((x * sqrt(x) + 2 * sqrt(2)) * (sqrt(x) - sqrt(2))) / ((sqrt(x) + sqrt(2)) * (sqrt(x) - sqrt(2))).

Раскроем скобки в числителе:

(x * sqrt(x) * sqrt(x) - x * sqrt(2) + 2 * sqrt(2) * sqrt(x) - 2 * sqrt(2)) / ((sqrt(x) + sqrt(2)) * (sqrt(x) - sqrt(2))).

И упростим еще больше:

(x^2 - x * sqrt(2) + 2 * sqrt(2) * sqrt(x) - 2 * sqrt(2)) / (x - 2).

Теперь давайте проверим, совпадают ли числитель и знаменатель с выражением (x * sqrt(x) + 2 * sqrt(2)) / (sqrt(x) + sqrt(2)).

Числитель:
x^2 - x * sqrt(2) + 2 * sqrt(2) * sqrt(x) - 2 * sqrt(2) = x * sqrt(x) + 2 * sqrt(2).

Знаменатель:
x - 2 = sqrt(x) + sqrt(2).

Мы видим, что числитель и знаменатель совпадают, поэтому мы можем сказать, что f(x) = x + (ax)^(1/2) + b.

b) Чтобы найти производную f'(x), мы должны применить правила дифференцирования. Для этого воспользуемся правилом суммы, правилом произведения и правилом дифференцирования функции x^(1/2).

f(x) = x + (ax)^(1/2) + b.

Применим правило суммы:

f'(x) = (d/dx)(x) + (d/dx)((ax)^(1/2)) + (d/dx)(b).

Дифференцируем каждое слагаемое:

f'(x) = 1 + (1/2)(a)(2)(x)^(-1/2) + 0.

Упростим это выражение:

f'(x) = 1 + a(x)^(-1/2).

c) Чтобы вычислить f'(2), мы должны подставить x = 2 в выражение для f'(x):

f'(2) = 1 + a(2)^(-1/2).

Упростим это выражение:

f'(2) = 1 + a(1/sqrt(2)).

f'(2) = 1 + a/sqrt(2).

Таким образом, для данной функции f(x):
a) показано, что f(x) может быть записана в виде f(x) = x + (ax)^(1/2) + b, где a и b - постоянные.
b) f'(x) = 1 + a(x)^(-1/2).
c) f'(2) = 1 + a/sqrt(2).