Объяснение:
Пусть x1, x2 - катеты, x3 - гипотенуза
Теорема Виета для кубического ур-я:
x1 + x2 + x3 = 12, отсюда x1 + x2 = 12 - x3
x1 * x2 * x3 = 60, отсюда x1 * x2 = 60/x3
По т. Пифагора
x3^2 = x1^2 + x2^2
(x1 + x2)^2 = (12 - x3)^2
(12 - x3)^2 = 144 - 24x3 + x3^2
x1^2 + x2^2 + 2x1*x2 = x3^2 +120/x3
x3^2 +120/x3 = 144 - 24x3 + x3^2
24x3 +120/x3 - 144 = 0 | *x3/24, где х3≠ 0. Мы можем это делать, т.к. x3 - не является корнем уравнения - 60 ≠ 0
x3^2 - 6x3 + 5 = 0
По Виета
x3 = 1 x3 = 5
Подставим x3 = 1 в выражение
1 - 12 + a - 60 = 0
a = 71
Подставим x3 = 5 в выражение
125 - 300 + 5a - 60 = 0
a = 47
Продолжаем искать корни
x1 + x2 = 11 (1) x1 + x2 = 7 (2)
x1 * x2 = 60, x1 * x2 = 12
отсюда x1 = 60/x2 отсюда x1 = 12/x2
Решаем 1-ую систему уравнений м-том подстановки
60/x2 + x2 = 11 | * x2
x2^2 - 11x2 + 60 = 0
D<0 - нет решения (Слава Богу)
Решаем 2-ую систему уравнений м-том подстановки
12/x2 + x2 = 7 |*x2
x2^2 - 7x2 + 12 = 0
x2 = 3 x2 = 4
x1 = 4 x1 = 3
Подставим x = 3 в выражение
27 - 108 + 3а - 60 = 0
а = 47
Подставим x = 4 в выражение
64 - 192 + 4а - 60 = 0
а = 47
корни данного уравнения x1 = 3 x2 = 4 x3 = 5
а = 47, a = 71
х₁=4; у₁=3; z₁=1;
х₂=5/3; у₂=23/3; z₂=8.
Объяснение:
Решить систему уравнений:
2х+у=11
3х+z=13
x²-y²+z²=8
1)Выразить х через у в первом уравнении:
2х=11-у
х=(11-у)/2
2)Умножить первое уравнение на -3, второе на 2 и сложить уравнения:
-6х-3у= -33
6х+2z=26
Складываем уравнения:
-6х+6х-3у+2z= -33+26
-3у+2z= -7
Выразить z через у:
2z= -7+3y
z=(3y-7)/2
Получили выражения х и z, подставляем в третье уравнение:
[(11-y)/2]² - y² + [(3y-7)/2]²=8
(121-22y+y²)/4 - y² + (9y²-42y+49)/4=8
Умножить уравнение на 4, чтобы избавиться от дроби:
121-22y+y² - 4у² + 9y²-42y+49 = 32
Привести подобные члены:
121-22y+y²-4у²+9y²-42y+49-32=0
6у²-64у+138=0, квадратное уравнение, ищем корни:
D=b²-4ac =4096-3312=784 √D=28
у₁=(-b-√D)/2a
у₁=(64-28)/12
у₁=36/12
у₁=3;
у₂=(-b+√D)/2a
у₂=(64+28)/12
у₂=92/12
у₂=23/3;
Подставляем в выражения с х значения у₁ и у₂, вычисляем значения х₁ и х₂:
х=(11-у)/2
х₁=(11-у₁)/2
х₁=(11-3)/2
х₁=8/2
х₁=4;
х₂=(11-у₂)/2
х₂=(11-23/3)/2
х₂=5/3;
Подставляем в выражения с z значения у₁ и у₂, вычисляем значения z₁ и z₂:
z=(3y-7)/2
z₁=(3y₁-7)/2
z₁=(3*3-7)/2
z₁=2/2
z₁=1;
z₂=(3y₂-7)/2
z₂=(3*23/3-7)/2
z₂=16/2
z₂=8.
Вычислено два набора чисел, проверка показала, оба удовлетворяют всем трём уравнениям:
х₁=4; у₁=3; z₁=1;
х₂=5/3; у₂=23/3; z₂=8.