Мы знаем, что арифметическая прогрессия представлена формулой: an = a1 + (n-1)d, где an - n-ый член прогрессии, a1 - первый член прогрессии, d - разность между последовательными членами прогрессии, n - порядковый номер члена.
В данной задаче у нас дано:
a3 - a1 = 8 (уравнение 1)
a2 + a4 = 14 (уравнение 2)
Sn = 77 (уравнение 3)
Разберемся с уравнениями по порядку.
Уравнение 1: a3 - a1 = 8
Подставим формулу an = a1 + (n-1)d для а3 и а1:
a1 + 2d - a1 = 8
2d = 8
d = 4
Теперь у нас есть значение разности: d = 4.
Уравнение 2: a2 + a4 = 14
Подставим формулу an = a1 + (n-1)d для а2 и а4:
a1 + d + a1 + 3d = 14
2a1 + 4d = 14
Далее у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (a1 и d).
Давайте решим эти уравнения методом подстановки.
Из уравнения 1 имеем: d = 4
Подставим это значение в уравнение 2:
2a1 + 4*4 = 14
2a1 + 16 = 14
2a1 = 14 - 16
2a1 = -2
a1 = -1
Теперь у нас есть значение первого члена прогрессии: a1 = -1.
Подставим значение a1 в уравнение 1 для нахождения d:
a3 - (-1) = 8
a3 + 1 = 8
a3 = 8 - 1
a3 = 7
Таким образом, мы нашли значения первого члена (a1 = -1) и третьего члена (a3 = 7) арифметической прогрессии.
Теперь посмотрим на уравнение 3: Sn = 77
Формула для суммы арифметической прогрессии: Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)
Подставим известные значения:
77 = (n/2)(2*(-1) + (n-1)*4)
Мы знаем, что арифметическая прогрессия представлена формулой: an = a1 + (n-1)d, где an - n-ый член прогрессии, a1 - первый член прогрессии, d - разность между последовательными членами прогрессии, n - порядковый номер члена.
В данной задаче у нас дано:
a3 - a1 = 8 (уравнение 1)
a2 + a4 = 14 (уравнение 2)
Sn = 77 (уравнение 3)
Разберемся с уравнениями по порядку.
Уравнение 1: a3 - a1 = 8
Подставим формулу an = a1 + (n-1)d для а3 и а1:
a1 + 2d - a1 = 8
2d = 8
d = 4
Теперь у нас есть значение разности: d = 4.
Уравнение 2: a2 + a4 = 14
Подставим формулу an = a1 + (n-1)d для а2 и а4:
a1 + d + a1 + 3d = 14
2a1 + 4d = 14
Далее у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (a1 и d).
Давайте решим эти уравнения методом подстановки.
Из уравнения 1 имеем: d = 4
Подставим это значение в уравнение 2:
2a1 + 4*4 = 14
2a1 + 16 = 14
2a1 = 14 - 16
2a1 = -2
a1 = -1
Теперь у нас есть значение первого члена прогрессии: a1 = -1.
Подставим значение a1 в уравнение 1 для нахождения d:
a3 - (-1) = 8
a3 + 1 = 8
a3 = 8 - 1
a3 = 7
Таким образом, мы нашли значения первого члена (a1 = -1) и третьего члена (a3 = 7) арифметической прогрессии.
Теперь посмотрим на уравнение 3: Sn = 77
Формула для суммы арифметической прогрессии: Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)
Подставим известные значения:
77 = (n/2)(2*(-1) + (n-1)*4)
Раскроем скобки:
77 = (n/2)(-2 + 4n - 4)
Упростим:
77 = (n/2)(4n - 6)
Распространим дробь:
77 * 2 = n(4n - 6)
154 = 4n^2 - 6n
Получили квадратное уравнение, которое можно решить.
4n^2 - 6n - 154 = 0
Теперь найдем корни этого квадратного уравнения.
Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac, где a = 4, b = -6 и c = -154.
D = (-6)^2 - 4*4*(-154)
D = 36 + 2464
D = 2500
Дискриминант D = 2500 положительный, значит, у уравнения есть два корня.
Формула для нахождения корней квадратного уравнения: x = (-b ± √D) / (2a)
x1 = (-(-6) + √2500) / (2*4)
x1 = (6 + 50) / 8
x1 = 56 / 8
x1 = 7
x2 = (-(-6) - √2500) / (2*4)
x2 = (6 - 50) / 8
x2 = -44 / 8
x2 = -5.5
У нас получились два корня: x1 = 7 и x2 = -5.5.
Так как порядковый номер (n) не может быть отрицательным числом, мы выбираем только положительное значение n.
Поэтому количество членов арифметической прогрессии равно 7.
Ответ: число членов арифметической прогрессии - 7.