Question

Дифференциальное уравнение $\frac{d {}^{2}y }{d {x}^{2} } = x + 1 \: \: \: \: \: \: \: \:$
при y=2 x=0. и y=1 x=2

Answer 1

$\dfrac{d^2y}{dx^2} =x+1$

Сначала найдем общее решение уравнения:

$y''=x+1$

$y'=\int(x+1)dx$

$y'=\dfrac{x^2}{2} +x+C_1$

$y=\int\left(\dfrac{x^2}{2} +x+C_1\right)dx$

$y=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x^3}{3} +\dfrac{x^2}{2} +C_1x+C_2$

$y=\dfrac{x^3}{6} +\dfrac{x^2}{2} +C_1x+C_2$

Рассмотрим начальное условие $y(0)=2$:

$2=\dfrac{0^3}{6} +\dfrac{0^2}{2} +C_1\cdot0+C_2$

$C_2=2$

Общее решение принимает вид:

$y=\dfrac{x^3}{6} +\dfrac{x^2}{2} +C_1x+2$

Рассмотрим начальное условие $y(2)=1$:

$1=\dfrac{2^3}{6} +\dfrac{2^2}{2} +C_1\cdot2+2$

$1=\dfrac{4}{3} +2 +2C_1+2$

$3=4+6 +6C_1+6$

$6C_1=3-4-6-6$

$6C_1=-13$

$C_1=-\dfrac{13}{6}$

Значит, частное решение имеет вид:

$\boxed{y=\dfrac{x^3}{6} +\dfrac{x^2}{2} -\dfrac{13}{6} x+2}$