Question

Десятизначное число назовём волнистым, если в его десятичной записи присутствуют только единицы, двойки и тройки, причём любые две соседние цифры различаются на 1. Найдите сумму всех волнистых чисел. Дам 35 б.

Answer 1

Идея такая: каждое волнистое число имеет следующий вид: двойки идут через один, а между ними стоят единицы либо тройки. Тогда каждому волнистому числу можно сопоставить волнистое число, в котором единицы и тройки поменяны местами, а двойки оставлены на месте. Сумма двух таких чисел, очевидно, равна $\underbrace{44\ldots 4}_{10}$.  Осталось посчитать количество волнистых чисел: если начинаются на $2$, то их $2^{5}$. Столько же их будет если двойка стоит на втором месте. Получаем $2^{6}$ волнистых чисел, а их сумма -- $\dfrac{2^{6}}{2}\cdot \underbrace{44\ldots 4}_{10} = 128\cdot \underbrace{11\ldots 1}_{10}$.