Question

Постройте график функции y=5x^2-10x-40/(x^2+2x)(4-x) и определите при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Answer 1

Объяснение:

Требуется построить график функции и определите при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

1.

$\displaystyle y=\frac{5x^2-10x-40}{(x^2+2x)(4-x)}$

Разложим числитель на множители. В знаменателе вынесем х из первой скобки:

$\displaystyle y=\frac{5(x^2-2x-8)}{x(x+2)(4-x)}\\\\x^2-2x-8=0\\\\x_{1,2}=\frac{2^+_-\sqrt{4+32} }{2}=\frac{2^+_-6}{2}\\\\x_1=4;\;\;\;\;\;x=-2\\\\x^2 -2x-8=(x-4)(x+2)$

Далее вынесем минус и сократим дробь. Не забываем про область определения функции:

$\displaystyle y=-\frac{5(4-x)(x+2)}{x(x+2)(4-x)}=-\frac{5}{x}$

Dy: x ≠ 0; x ≠ -2; x ≠ 4;

или х ∈ (-∞;-2) ∪ (-2;0) ∪ (0;+∞)

2. Строим график - гипербола, расположена во 2 и 4 четвертях.

Возьмем точки:

х=1; y=-5;

x=2; y=-2,5;

x=5; y=-1

Вторую ветвь гиперболы строим симметрично начала координат.

Отметим "выколотые" точки.

x ≠ -2; x ≠ 4

3. При каких значениях k прямая y=kx имеет одну общую точку?

Прямая проходит через начало координат.

Эти прямые пройдут через "выколотые" точки.

Подставим их координаты в уравнение прямой и найдем k:

1) (-2; 2,5)

2,5=k*(-2)

k = -1,25 ⇒ y = -1,25x

2) (4; -1,25)

-1,25=k*(4)

k = - 0,3125 ⇒ y = -0,3125x