Question

Точки A и B равномерно движутся по окружности в одном и том же направлении. Точка A проходит окружность на 4 с быстрее, чем точка B. Точка A догоняет точку B каждые 8 с. Определите время, за которое проходит окружность точка A.

Answer 1

Пусть точка А проходит окружность за время t с. Это время нам и нужно найти. Сразу можем записать, что точка В в таком случае проходит окружность за время (t+4) с.

Рассмотрим следующее условие, связанное с обгоном. Пусть точка В за 8 секунд проходит некоторую дистанцию. Тогда, точка А за то же время проходит эту дистанцию и еще целую окружность.

Для точки А условно запишем следующее:

окружность ⇆ t с

дистанция + окружность ⇆ 8 с

Поймем сколько времени тратится на прохождение дистанции (от второго соотношения отнимем первое):

дистанция ⇆ (8-t) с

Окончательно, для точки А имеем:

окружность ⇆ t с

дистанция ⇆ (8-t) с

Для точки В можем записать:

окружность ⇆ (t+4) с

дистанция ⇆ 8 с

Так как скорости точек А и В постоянны, то отношения времен, затраченных на прохождение соответственно равных расстояний совпадают. Составим уравнение:

$\dfrac{t}{t+4} =\dfrac{8-t}{8}$

$8t=(t+4)(8-t)$

$8t=8t-t^2+32-4t$

$t^2+4t-32=0$

$D_1=2^2-1\cdot(-32)=36$

$t\neq -2-\sqrt{36} =-8$

Отрицательный корень не подходит по смыслу задачи.

$t= -2+\sqrt{36} =4$

Значит, точка А проходит окружность за 4 с.

ответ: за 4 секунды

Answer 2

4 секунды

Объяснение:

Пусть движение точек начинается с того момента, как они совпали. Пусть С длина окружности, а V - скорость точки а. С/V=t -время за которое точка А совершает круг (искомая величина).

t+4 - время за которое точка В  совершает круг.

С/(t+4)- скорость точки В

V-С/(t+4) -скорость удаления А от В

C/(V-С/(t+4))=8

Поделим слева числитель и знаменатель на V, помня С/V=t

t/(1-t/(t+4))=8

t/(4/(t+4))=8

t=8*4/(t+4)

t^2+4t=32

t^2+4t+4=6^2

(t+2)^2=6^2

Положительный корень t =4 с