Question

В треугольнике с вершинами O(0,0,0), A(7,3,–5), B(–5,7,3) проведена биссектриса AОB. Написать ее каноническое уравнение с решением. Нужно подробное описание решения.

Answer 1

$A(7;3;-5)\ ,\ B(-5;7;3)\ ,\ O(0;0;0)$

Найдём направляющие векторы для ОА и ОВ .

$\overline{OA}=(7;3;-5)\ \ ,\ \ |\overline{OA}|=\sqrt{49+9+25}=\sqrt{83}\\\\\overline{OB}=(-5;7;3)\ \ ,\ \ |\overline{OB}|=\sqrt{25+49+9}=\sqrt{83}$

Эти векторы имеют одинаковые длины. Если на них построить ромб, то биссектрисы углов этого ромба будут лежать на его диагоналях (по свойствам ромба) . А диагонали ромба - это векторы  $\overline{OA}+\overline{OB}$  и  

$\overline{OA}-\overline{OB}$  .    $\overline{OA}+\overline{OB}=(2;10;-2)\ ,\ \ \overline{OA}-\overline{OB}=(12;-4;-8)$  .

Выбираем направляющий вектор  биссектрисы  $\frac{1}{2}\cdot (\overline{OA}+\overline{OB})=(1;5-1)$ . Точка, принадлежащая биссектрисе - точка O(0;0;0). Каноническое уравнение биссектрисы:

$\dfrac{x-0}{1}=\dfrac{y-0}{5}=\dfrac{z-0}{-1}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{5}=\dfrac{z}{-1}$