Question

Найти значение многочлена f(x) от матрицы A. $f(x)=x^3-4x^2-3\\$

$A={3, -2, 2}\\\ {2, -1, 2}\\{2, -2, 3}$

Answer 1

Можно просто подставить матрицу и вычислить значение <<в лоб>>. Однако можно и упростить себе жизнь: вычислим характеристический многочлен матрицы: $\det(A-\lambda E) = \det \left(\begin{array}{ccc}3-\lambda&-2&2\\2&-1-\lambda&2\\2&-2&3-\lambda\end{array}\right) = -(3-\lambda)^2(1+\lambda)-8-8 --(-4(1+\lambda)-4(3-\lambda)-4(3-\lambda)) = -\lambda^3+5\lambda^2-7\lambda+3$.

Тогда по теореме Гамильтона-Кэли имеем: $-A^3+5A^2-7A+3=0 \Leftrightarrow A^3 = 5A^2-7A+3$, следовательно, $f(A) = A^3-4A^2-3 = 5A^2-7A+3-4A^2-3 = A^2-7A = A(A-7E)$. Ну а это уже легко считается: $f(A) = \left(\begin{array}{ccc}3&-2&2\\2&-1&2\\2&-2&3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}-4&-2&2\\2&-8&2\\2&-2&-4\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}-12&6&-6\\-6&0&-6\\-6&6&-12\end{array}\right)$.