Для начала найдем производную функции y = 2x^3 - 3x^2 - 4.
Производная функции может сказать нам о ее поведении и позволит найти интервалы, где функция монотонно убывает или возрастает, а также точки экстремума.
Итак, найдем производную функции y = 2x^3 - 3x^2 - 4:
y' = (2*3)x^(3-1) - (3*2)x^(2-1) - 0
= 6x^2 - 6x
Теперь нужно найти значения x, при которых производная равна нулю:
6x^2 - 6x = 0
Вынесем общий множитель:
6x(x - 1) = 0
Таким образом, у нас есть два возможных значения x, при которых производная равна нулю: x = 0 и x = 1.
Теперь рассмотрим три интервала:
1) От минус бесконечности до x = 0;
2) От x = 0 до x = 1;
3) От x = 1 до плюс бесконечности.
Для каждого из этих интервалов определим знак производной и таким образом узнаем, является ли функция на этом интервале монотонной.
Для интервала 1: от минус бесконечности до x = 0
Подставим в производную значение x, меньшее 0, например, x = -1:
6(-1)^2 - 6(-1) = 12 > 0
Так как производная положительна, то функция y = 2x^3 - 3x^2 - 4 возрастает на интервале (-∞, 0).
Для интервала 2: от x = 0 до x = 1
Подставим в производную значение x, лежащее между 0 и 1, например x = 0.5:
6(0.5)^2 - 6(0.5) = -1.5 < 0
Так как производная отрицательна, то функция y = 2x^3 - 3x^2 - 4 убывает на интервале (0, 1).
Для интервала 3: от x = 1 до плюс бесконечности
Подставим в производную значение x, большее 1, например, x = 2:
6(2)^2 - 6(2) = 12 > 0
Так как производная положительна, то функция y = 2x^3 - 3x^2 - 4 возрастает на интервале (1, ∞).
Точки экстремума функции соответствуют значениям x, при которых производная равна 0. Мы уже нашли две таких точки x = 0 и x = 1. Чтобы найти соответствующие значения функции в этих точках, подставим их в исходную функцию:
Итак, интервалы монотонности:
Функция y = 2x^3 - 3x^2 - 4 возрастает на интервалах (-∞, 0) и (1, ∞), и убывает на интервале (0, 1).
Точки экстремума:
Есть две точки экстремума: (0, -4) и (1, -5). В точке x = 0 функция имеет максимум и равна -4, а в точке x = 1 функция имеет минимум и равна -5.
Производная функции может сказать нам о ее поведении и позволит найти интервалы, где функция монотонно убывает или возрастает, а также точки экстремума.
Итак, найдем производную функции y = 2x^3 - 3x^2 - 4:
y' = (2*3)x^(3-1) - (3*2)x^(2-1) - 0
= 6x^2 - 6x
Теперь нужно найти значения x, при которых производная равна нулю:
6x^2 - 6x = 0
Вынесем общий множитель:
6x(x - 1) = 0
Таким образом, у нас есть два возможных значения x, при которых производная равна нулю: x = 0 и x = 1.
Теперь рассмотрим три интервала:
1) От минус бесконечности до x = 0;
2) От x = 0 до x = 1;
3) От x = 1 до плюс бесконечности.
Для каждого из этих интервалов определим знак производной и таким образом узнаем, является ли функция на этом интервале монотонной.
Для интервала 1: от минус бесконечности до x = 0
Подставим в производную значение x, меньшее 0, например, x = -1:
6(-1)^2 - 6(-1) = 12 > 0
Так как производная положительна, то функция y = 2x^3 - 3x^2 - 4 возрастает на интервале (-∞, 0).
Для интервала 2: от x = 0 до x = 1
Подставим в производную значение x, лежащее между 0 и 1, например x = 0.5:
6(0.5)^2 - 6(0.5) = -1.5 < 0
Так как производная отрицательна, то функция y = 2x^3 - 3x^2 - 4 убывает на интервале (0, 1).
Для интервала 3: от x = 1 до плюс бесконечности
Подставим в производную значение x, большее 1, например, x = 2:
6(2)^2 - 6(2) = 12 > 0
Так как производная положительна, то функция y = 2x^3 - 3x^2 - 4 возрастает на интервале (1, ∞).
Точки экстремума функции соответствуют значениям x, при которых производная равна 0. Мы уже нашли две таких точки x = 0 и x = 1. Чтобы найти соответствующие значения функции в этих точках, подставим их в исходную функцию:
y(0) = 2(0)^3 - 3(0)^2 - 4 = -4
y(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 - 4 = -5
Получаем две точки экстремума: (0, -4) и (1, -5).
Итак, интервалы монотонности:
Функция y = 2x^3 - 3x^2 - 4 возрастает на интервалах (-∞, 0) и (1, ∞), и убывает на интервале (0, 1).
Точки экстремума:
Есть две точки экстремума: (0, -4) и (1, -5). В точке x = 0 функция имеет максимум и равна -4, а в точке x = 1 функция имеет минимум и равна -5.