Question

Котангенс острого угла А треугольника АВС равен √21:2 (2 не под корнем). Найдите sin A.

Answer 1

Чтобы решить эту задачу, мы воспользуемся определением котангенса и связью между котангенсом и тангенсом.

Котангенс острого угла А равен отношению катета противолежащего углу А к катету прилежащему к углу А. То есть, cot(A) = BC/AC, где ВС - противолежащий углу А катет, а АС - прилежащий к углу А катет.

По условию задачи, cot(A) = √21/2.

Из связи между котангенсом и тангенсом следует, что cot(A) = 1/tan(A).

Таким образом, 1/tan(A) = √21/2.

Чтобы найти sin A, мы можем воспользоваться связью между тангенсом и синусом:

tan(A) = sin(A)/cos(A), где sin(A) - синус угла А, а cos(A) - косинус угла А.

Подставим данное выражение в равенство: 1/(sin(A)/cos(A)) = √21/2.

Перевернем дробь слева и умножим обе части уравнения на cos(A):

cos(A)/sin(A) = 2/√21.

Разделим числитель и знаменатель слева на sin(A):

cos(A)/sin^2(A) = 2/√21.

Далее, воспользуемся тригонометрическим тождеством: sin^2(A) + cos^2(A) = 1.

cos(A)/(1 - cos^2(A)) = 2/√21.

Перемножим числитель и знаменатель в правой части и упростим:

cos(A) * √21 = 2 * (1 - cos^2(A)).

cos(A) * √21 = 2 - 2cos^2(A).

Упростим дальше, используя тождество sin^2(A) = 1 - cos^2(A):

cos(A) * √21 = 2 - 2(1 - sin^2(A)).

cos(A) * √21 = 2 - 2 + 2sin^2(A).

cos(A) * √21 = 2sin^2(A).

Разделим обе части на 2:

(cos(A) * √21) / 2 = sin^2(A).

√21/2 * cos(A) = sin^2(A).

Возьмем квадратный корень от обеих частей:

√(√21/2 * cos(A)) = sin(A).

Таким образом, мы нашли значение sin(A), оно равно √(√21/2 * cos(A)).