Сразу скажем, что в таком виде результат неверен, более того, сумму квадратов обратных величин можно сделать сколь угодно близкой к нулю. Например, 104-100+100-100=4, а 
А вот если все четыре числа положительны, требуемое неравенство легко выводится из неравенства Коши между средним арифметическим и средним геометрическим: для неотрицательных 
справедливо неравенство ![\frac{a_1+a_2+\ldots +a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot \ldots \cdot a_n},](/tpl/images/2008/0212/1d1c5.png)
причем неравенство превращается в равенство только в случае 
Из условия a+b+c+d=4 и неравенства Коши (если a, b, c, d положительны) следует, что ![1=\frac {a+b+c+d}{4}\ge \sqrt[4]{a\cdot b\cdot c\cdot d}.](/tpl/images/2008/0212/a42bd.png)
Иными словами,
![\sqrt[4]{abcd}\le 1.](/tpl/images/2008/0212/1c9d3.png)
Чтобы дальше была комфортная жизнь, перепишем это в виде ![\frac{1}{\sqrt[4]{abcd}}\ge 1.](/tpl/images/2008/0212/ca9df.png)
Из неравенства Коши следует, что
![\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}\ge 4\sqrt[4]{\frac{1}{a^2b^2c^2d^2}}=\frac{4}{(\sqrt[4]{abcd})^2}\ge \frac{4}{1^2}=4,](/tpl/images/2008/0212/07289.png)
что и требовалось доказать.
ответ: Упростим выражение. Получим -4