Для начала, заметим, что это является трёхчленом, так как у нас есть переменная d, возведенная в степень не выше 8.
Чтобы разложить трёхчлен на множители, нам нужно найти его корни, то есть значения переменной, при которых трёхчлен равен нулю. Давайте попробуем найти такие значения.
Сначала, мы можем заметить, что число 49 может быть записано как 7^2, а число 36 как 6^2. Также, обратим внимание, что все элементы трёхчлена имеют общий множитель 1, их можно разделить на 1:
1*(49-84d^4+36d^8)
Используя формулу разности квадратов, результат можно записать следующим образом:
1*(7^2-2*7*d^2+6^2*d^4)
Теперь мы можем заметить, что разность (7d^2-6)^2 равно
7^2-2*7*d^2+6^2*d^4
Таким образом, трёхчлен можно разложить на множители следующим образом:
(7d^2-6)^2
2. n^8+8k^3 n^4+16k^6:
Теперь рассмотрим второй трёхчлен. Опять же, мы видим, что у нас есть 3 переменные: n, k и константа 16.
Для начала, обратим внимание, что тут нет общего множителя, поэтому просто приступим к разложению.
Изначально, мы можем написать данный трёхчлен в следующей форме:
n^8+8k^3 n^4+16k^6
Далее, давайте проведем небольшую замену переменных, чтобы было легче воспринимать:
(n^4)^2+(2k^3)^2+4(n^4)(2k^3)
Теперь, обратим внимание, что данное выражение выглядит как сумма квадратов. Мы знаем, что сумма квадратов в итоге можно разложить на множители следующим образом:
(a^2+b^2)^2=(a+bi)(a-bi)
Следовательно, мы можем разложить данный трёхчлен в множители следующим образом:
[(n^4)+(2k^3)]^2
3. d^6+10d^3 k^2+25k^4:
Теперь рассмотрим третий трёхчлен. У нас снова есть 3 переменные: d, k и константа 25.
Давайте раскроем первый член: d^6. У нас есть переменная d, возведенная в шестую степень. Мы можем записать этот член как:
(d^2)^3
Далее, рассмотрим второй член: 10d^3 k^2. У нас есть переменные d и k, возведенные в третью и вторую степень соответственно. Мы можем записать этот член как:
2(d^2)(k)^2(d^2)
Третий член, 25k^4, уже имеет возможность быть записанным в следующем формате:
(5k^2)^2
Теперь, объединяя все полученные результаты, можем записать трёхчлен в следующем виде:
(d^2+2dk)^2+(5k^2)^2
Таким образом, данный трёхчлен можно разложить на множители следующим образом:
1. 49-84d^4+36d^8:
Для начала, заметим, что это является трёхчленом, так как у нас есть переменная d, возведенная в степень не выше 8.
Чтобы разложить трёхчлен на множители, нам нужно найти его корни, то есть значения переменной, при которых трёхчлен равен нулю. Давайте попробуем найти такие значения.
Сначала, мы можем заметить, что число 49 может быть записано как 7^2, а число 36 как 6^2. Также, обратим внимание, что все элементы трёхчлена имеют общий множитель 1, их можно разделить на 1:
1*(49-84d^4+36d^8)
Используя формулу разности квадратов, результат можно записать следующим образом:
1*(7^2-2*7*d^2+6^2*d^4)
Теперь мы можем заметить, что разность (7d^2-6)^2 равно
7^2-2*7*d^2+6^2*d^4
Таким образом, трёхчлен можно разложить на множители следующим образом:
(7d^2-6)^2
2. n^8+8k^3 n^4+16k^6:
Теперь рассмотрим второй трёхчлен. Опять же, мы видим, что у нас есть 3 переменные: n, k и константа 16.
Для начала, обратим внимание, что тут нет общего множителя, поэтому просто приступим к разложению.
Изначально, мы можем написать данный трёхчлен в следующей форме:
n^8+8k^3 n^4+16k^6
Далее, давайте проведем небольшую замену переменных, чтобы было легче воспринимать:
(n^4)^2+(2k^3)^2+4(n^4)(2k^3)
Теперь, обратим внимание, что данное выражение выглядит как сумма квадратов. Мы знаем, что сумма квадратов в итоге можно разложить на множители следующим образом:
(a^2+b^2)^2=(a+bi)(a-bi)
Следовательно, мы можем разложить данный трёхчлен в множители следующим образом:
[(n^4)+(2k^3)]^2
3. d^6+10d^3 k^2+25k^4:
Теперь рассмотрим третий трёхчлен. У нас снова есть 3 переменные: d, k и константа 25.
Давайте раскроем первый член: d^6. У нас есть переменная d, возведенная в шестую степень. Мы можем записать этот член как:
(d^2)^3
Далее, рассмотрим второй член: 10d^3 k^2. У нас есть переменные d и k, возведенные в третью и вторую степень соответственно. Мы можем записать этот член как:
2(d^2)(k)^2(d^2)
Третий член, 25k^4, уже имеет возможность быть записанным в следующем формате:
(5k^2)^2
Теперь, объединяя все полученные результаты, можем записать трёхчлен в следующем виде:
(d^2+2dk)^2+(5k^2)^2
Таким образом, данный трёхчлен можно разложить на множители следующим образом:
[(d^2+2dk)+(5k^2)][(d^2+2dk)-(5k^2)]