Question

Найдите значение суммы коэффициентов формулы (х^4-2х^3+3)^2×(х^4-2х^2-1)^3

Answer 1

Чтобы найти значение суммы коэффициентов данной формулы, нам нужно разложить ее на множители. Затем нужно сложить все коэффициенты каждого монома, чтобы получить итоговую сумму.

Давайте разложим формулу на множители:

(х^4-2х^3+3)^2*(х^4-2х^2-1)^3

Сначала разложим каждое выражение на множители:

(х^4-2х^3+3)^2 = (х^4)^2 - 2*(х^4)*(2х^3) + 3^2
= х^8 - 4х^7 + 12х^6 - 4х^7 + 16х^6 - 48х^5 + 9

(х^4-2х^2-1)^3 = (х^4)^3 - 3*(х^4)^2*(2х^2) - 3*(х^4)*(2х^2)^2 - (2х^2)^3
= х^12 - 6х^10 + 9х^8 + 12х^8 - 72х^10 + 108х^8 - 108х^6 + 648х^4 - 729

Теперь перемножим полученные множители:

(х^8 - 4х^7 + 12х^6 - 4х^7 + 16х^6 - 48х^5 + 9) * (х^12 - 6х^10 + 9х^8 + 12х^8 - 72х^10 + 108х^8 - 108х^6 + 648х^4 - 729)

Для этого нам нужно перемножить каждый терм первого выражения на каждый терм второго выражения. Запишем это пошагово:

1. Умножим первый терм первого выражения (х^8) на каждый терм второго выражения:
х^8 * х^12 = х^(8+12) = х^20
х^8 * (-6х^10) = -6х^(8+10) = -6х^18
х^8 * 9х^8 = 9х^(8+8) = 9х^16
х^8 * 12х^8 = 12х^(8+8) = 12х^16
х^8 * (-72х^10) = -72х^(8+10) = -72х^18
х^8 * 108х^8 = 108х^(8+8) = 108х^16
х^8 * (-108х^6) = -108х^(8+6) = -108х^14
х^8 * 648х^4 = 648х^(8+4) = 648х^12
х^8 * (-729) = -729х^8

Просуммируем полученные мономы:
х^20 - 6х^18 + 9х^16 + 12х^16 - 72х^18 + 108х^16 - 108х^14 + 648х^12 - 729х^8

2. Умножим второй терм первого выражения (-4х^7) на каждый терм второго выражения:
-4х^7 * х^12 = -4х^(7+12) = -4х^19
-4х^7 * (-6х^10) = 24х^(7+10) = 24х^17
-4х^7 * 9х^8 = -36х^(7+8) = -36х^15
-4х^7 * 12х^8 = -48х^(7+8) = -48х^15
-4х^7 * (-72х^10) = 288х^(7+10) = 288х^17
-4х^7 * 108х^8 = -432х^(7+8) = -432х^15
-4х^7 * (-108х^6) = 432х^(7+6) = 432х^13
-4х^7 * 648х^4 = -2592х^(7+4) = -2592х^11
-4х^7 * (-729) = 2916х^7

Просуммируем полученные мономы:
-4х^19 + 24х^17 - 36х^15 - 48х^15 + 288х^17 - 432х^15 + 432х^13 - 2592х^11 + 2916х^7

3. Умножим третий терм первого выражения (12х^6) на каждый терм второго выражения:
12х^6 * х^12 = 12х^(6+12) = 12х^18
12х^6 * (-6х^10) = -72х^(6+10) = -72х^16
12х^6 * 9х^8 = 108х^(6+8) = 108х^14
12х^6 * 12х^8 = 144х^(6+8) = 144х^14
12х^6 * (-72х^10) = -864х^(6+10) = -864х^16
12х^6 * 108х^8 = 1296х^(6+8) = 1296х^14
12х^6 * (-108х^6) = -1296х^(6+6) = -1296х^12
12х^6 * 648х^4 = 7776х^(6+4) = 7776х^10
12х^6 * (-729) = -8748х^6

Просуммируем полученные мономы:
12х^18 - 72х^16 + 108х^14 + 144х^14 - 864х^16 + 1296х^14 - 1296х^12 + 7776х^10 - 8748х^6

4. Умножим четвертый терм первого выражения (3) на каждый терм второго выражения:
3 * х^12 = 3х^12
3 * (-6х^10) = -18х^10
3 * 9х^8 = 27х^8
3 * 12х^8 = 36х^8
3 * (-72х^10) = -216х^10
3 * 108х^8 = 324х^8
3 * (-108х^6) = -324х^6
3 * 648х^4 = 1944х^4
3 * (-729) = -2187

Просуммируем полученные мономы:
3х^12 - 18х^10 + 27х^8 + 36х^8 - 216х^10 + 324х^8 - 324х^6 + 1944х^4 - 2187

Теперь сложим все просуммированные мономы, чтобы получить окончательную сумму коэффициентов:

(х^20 - 6х^18 + 9х^16 + 12х^16 - 72х^18 + 108х^16 - 108х^14 + 648х^12 - 729х^8) + (-4х^19 + 24х^17 - 36х^15 - 48х^15 + 288х^17 - 432х^15 + 432х^13 - 2592х^11 + 2916х^7) + (12х^18 - 72х^16 + 108х^14 + 144х^14 - 864х^16 + 1296х^14 - 1296х^12 + 7776х^10 - 8748х^6) + (3х^12 - 18х^10 + 27х^8 + 36х^8 - 216х^10 + 324х^8 - 324х^6 + 1944х^4 - 2187)

Теперь вычислим эту сумму:

1х^20 - 10х^19 - 6х^18 - 84х^17 - 162х^16 + 280х^15 - 318х^14 + 1974х^13 + 3146х^12 - 1566х^11 - 4080х^10 + 3060х^9 + 5796х^8 + 3888х^7 + 6873х^6 - 2187х^5 + 1944х^4 - 2187

Таким образом, значение суммы коэффициентов формулы (х^4-2х^3+3)^2*(х^4-2х^2-1)^3 равно:

1х^20 - 10х^19 - 6х^18 - 84х^17 - 162х^16 + 280х^15 - 318х^14 + 1974х^13 + 3146х^12 - 1566х^11 - 4080х^10 + 3060х^9 + 5796х^8 + 3888х^7 + 6873х^6 - 2187х^5 + 1944х^4 - 2187