Контрольная работа No 4 Квадратные уравнения Вариант 4 o1 Определите, имеет ли корни уравнение 2 + 4х + 3 = 0. o2 Решите неполное квадратное уравнение: a) 15-5x=0; 6) 10%? -- 2x =0. o3 Решите уравнение: а) 2x2 - 7х + 6 = 0; 6) Br? +1 = 2x - 2. o4 Квадратный трёхчлен х? – 9x +8 разложите на множители, если это возможно. o5 Решите задачу с уравнения: «Площадь прямоугольника 72 м“. Найдите его стороны, если одна. из них на 6 м больше другой». - • 6 Составьте квадратное ура хение, имеющее кории, равные 6 и 2' и преобразуйте его так, чтобы все коэффициенты были целыми чис- лами, •7 Найдите все целые положительные значения р, при которых урав- нение х* - px – 8 = 0 имеет целые корни. 8 Решите уравнение х* + 8 – 9 = 0. Дополнительное задание *9 Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел на 49 больше удвоенного большего из данных чисел. Найдите эти числа. РЕШИТЬ КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ!
Давайте рассмотрим каждый вопрос и постараемся разобрать его пошагово.
1. o1 Определите, имеет ли корни уравнение 2 + 4х + 3 = 0.
Для этого уравнения нам нужно найти дискриминант, который вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты уравнения. В данном случае a = 1, b = 4 и c = 3.
Подставим эти значения в формулу: D = 4^2 - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4.
Если дискриминант больше нуля (D > 0), то у уравнения есть два различных корня. Если дискриминант равен нулю (D = 0), то уравнение имеет один корень. Если дискриминант меньше нуля (D < 0), то уравнение не имеет действительных корней.
В данном случае, так как D = 4 (больше нуля), уравнение имеет два различных корня.
2. o2 Решите неполное квадратное уравнение: a) 15-5x=0.
Чтобы решить это уравнение, нужно привести его к стандартному виду, где коэффициент a равен 1. Для этого нужно разделить обе части уравнения на -5:
(15 - 5x) / -5 = 0 / -5
Результат будет:
-3 + x = 0
Не забудьте поменять знак у числа -3 при переносе на другую сторону равенства.
Теперь выразим x, чтобы найти его значение. Прибавим 3 к обеим сторонам уравнения:
-3 + x + 3 = 0 + 3
x = 3
3. o3 Решите уравнение: а) 2x^2 - 7x + 6 = 0.
Для решения этого уравнения можно воспользоваться методом "разложения на множители" или "формулой корней".
Метод "разложения на множители":
Найдем два числа, сумма которых равна -7, а произведение равно 12 (по коэффициентам перед x^2 и свободному члену).
Два числа, удовлетворяющие этим условиям, это -6 и -1, так как (-6) + (-1) = -7 и (-6) * (-1) = 6.
Теперь мы можем разложить наш квадратный трехчлен на множители:
2x^2 - 7x + 6 = (2x - 3)(x - 2) = 0
Теперь приравняем каждый множитель к нулю и найдем значения x:
2x - 3 = 0
x - 2 = 0
Решим каждое уравнение по отдельности:
2x - 3 = 0
2x = 3
x = 3/2
x - 2 = 0
x = 2
Таким образом, уравнение имеет два корня: x = 3/2 и x = 2.
4. o4 Квадратный трёхчлен x^2 – 9x + 8 разложите на множители, если это возможно.
Чтобы разложить квадратный трехчлен на множители, нужно найти два таких числа, сумма которых равна -9, а произведение равно 8.
Такие числа это -1 и -8, так как (-1) + (-8) = -9 и (-1) * (-8) = 8.
Теперь мы можем разложить трехчлен на множители:
x^2 - 9x + 8 = (x - 1)(x - 8)
5. o5 Решите задачу с уравнения: «Площадь прямоугольника 72 м². Найдите его стороны, если одна из них на 6 м больше другой».
Пусть одна сторона прямоугольника равна x м, тогда другая сторона будет равна (x + 6) м.
Известно, что площадь прямоугольника равна 72 м², поэтому у нас есть уравнение:
x * (x + 6) = 72
Раскроем скобки и приведем уравнение к виду квадратного уравнения:
x^2 + 6x - 72 = 0
Дальше можно решить это уравнение методом разложения на множители или с помощью формулы корней.
В данном случае, разложение на множители невозможно, поэтому воспользуемся формулой корней.
Для квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0, корни x можно найти по формуле:
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
В нашем случае a = 1, b = 6 и c = -72.
Подставляем значения в формулу:
x = (-6 ± √(6^2 - 4*1*(-72))) / (2*1)
x = (-6 ± √(36 + 288)) / 2
x = (-6 ± √324) / 2
x = (-6 ± 18) / 2
Теперь решим уравнение:
x = (-6 + 18) / 2 = 12 / 2 = 6
или
x = (-6 - 18) / 2 = -24 / 2 = -12
Так как стороны не могут иметь отрицательные значения, x = -12 не подходит. Получаем, что одна сторона равна 6 м, а другая сторона равна (6 + 6) = 12 м.
6. Составьте квадратное уравнение, имеющее корни, равные 6 и 2, и преобразуйте его так, чтобы все коэффициенты были целыми числами.
Чтобы составить уравнение с заданными корнями, нужно использовать формулу:
(x - корень1)(x - корень2) = 0
В данном случае, корни равны 6 и 2, поэтому уравнение будет:
(x - 6)(x - 2) = 0
Раскрываем скобки:
x^2 - 6x - 2x + 12 = 0
x^2 - 8x + 12 = 0
Теперь мы имеем квадратное уравнение с целыми коэффициентами.
7. Найдите все целые положительные значения р, при которых уравнение х^2 - px – 8 = 0 имеет целые корни.
Чтобы уравнение имело целые корни, дискриминант должен быть полным квадратом. В данном случае, дискриминант равен p^2 + 32.
Поэтому п^2 + 32 должно быть полным квадратом целого числа.
Пробуем различные значения целого числа p, начиная с 1, и проверяем, будет ли п^2 + 32 полным квадратом. Если да, такое значение р исходного уравнения подходит.
8. Решите уравнение х^2 + 8 – 9 = 0.
Чтобы решить это уравнение, нужно привести его к стандартному виду:
x^2 - 9 = 0
Теперь можно применить формулу квадратных корней:
x = ± √9
x = ± 3
Таким образом, уравнение имеет два корня: x = 3 и x = -3.
Дополнительное задание 9. Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел на 49 больше удвоенного большего из данных чисел. Найдите эти числа.
Пусть первое натуральное число равно x, тогда второе натуральное число будет равно (x + 1).
Из условия задачи получаем уравнение:
x^2 + (x + 1)^2 = 2(x + 1)
Раскроем скобки:
x^2 + x^2 + 2x + 1 = 2x + 2
Сократим подобные слагаемые:
2x^2 + 2x + 1 = 2x + 2
Перенесем все слагаемые на одну сторону:
2x^2 + 2x - 2x - 1 + 2 - 2 = 0
2x^2 - 1 = 0
Теперь решим это уравнение методом формулы корней:
x = (-2 ± √(2^2 - 4 * 2 * -1)) / (2 * 2)
x = (-2 ± √(4 + 8)) / 4
x = (-2 ± √12) / 4
x = (-2 ± 2√3) / 4
Упростим выражение:
x = (-1 ± √3) / 2
Таким образом, первое натуральное число может быть равно (-1 + √3) / 2 или (-1 - √3) / 2.
Второе натуральное число соответственно будет равно (-1 + √3) / 2 + 1 или (-1 - √3) / 2 + 1.
Давайте рассмотрим каждый вопрос и постараемся разобрать его пошагово.
1. o1 Определите, имеет ли корни уравнение 2 + 4х + 3 = 0.
Для этого уравнения нам нужно найти дискриминант, который вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты уравнения. В данном случае a = 1, b = 4 и c = 3.
Подставим эти значения в формулу: D = 4^2 - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4.
Если дискриминант больше нуля (D > 0), то у уравнения есть два различных корня. Если дискриминант равен нулю (D = 0), то уравнение имеет один корень. Если дискриминант меньше нуля (D < 0), то уравнение не имеет действительных корней.
В данном случае, так как D = 4 (больше нуля), уравнение имеет два различных корня.
2. o2 Решите неполное квадратное уравнение: a) 15-5x=0.
Чтобы решить это уравнение, нужно привести его к стандартному виду, где коэффициент a равен 1. Для этого нужно разделить обе части уравнения на -5:
(15 - 5x) / -5 = 0 / -5
Результат будет:
-3 + x = 0
Не забудьте поменять знак у числа -3 при переносе на другую сторону равенства.
Теперь выразим x, чтобы найти его значение. Прибавим 3 к обеим сторонам уравнения:
-3 + x + 3 = 0 + 3
x = 3
3. o3 Решите уравнение: а) 2x^2 - 7x + 6 = 0.
Для решения этого уравнения можно воспользоваться методом "разложения на множители" или "формулой корней".
Метод "разложения на множители":
Найдем два числа, сумма которых равна -7, а произведение равно 12 (по коэффициентам перед x^2 и свободному члену).
Два числа, удовлетворяющие этим условиям, это -6 и -1, так как (-6) + (-1) = -7 и (-6) * (-1) = 6.
Теперь мы можем разложить наш квадратный трехчлен на множители:
2x^2 - 7x + 6 = (2x - 3)(x - 2) = 0
Теперь приравняем каждый множитель к нулю и найдем значения x:
2x - 3 = 0
x - 2 = 0
Решим каждое уравнение по отдельности:
2x - 3 = 0
2x = 3
x = 3/2
x - 2 = 0
x = 2
Таким образом, уравнение имеет два корня: x = 3/2 и x = 2.
4. o4 Квадратный трёхчлен x^2 – 9x + 8 разложите на множители, если это возможно.
Чтобы разложить квадратный трехчлен на множители, нужно найти два таких числа, сумма которых равна -9, а произведение равно 8.
Такие числа это -1 и -8, так как (-1) + (-8) = -9 и (-1) * (-8) = 8.
Теперь мы можем разложить трехчлен на множители:
x^2 - 9x + 8 = (x - 1)(x - 8)
5. o5 Решите задачу с уравнения: «Площадь прямоугольника 72 м². Найдите его стороны, если одна из них на 6 м больше другой».
Пусть одна сторона прямоугольника равна x м, тогда другая сторона будет равна (x + 6) м.
Известно, что площадь прямоугольника равна 72 м², поэтому у нас есть уравнение:
x * (x + 6) = 72
Раскроем скобки и приведем уравнение к виду квадратного уравнения:
x^2 + 6x - 72 = 0
Дальше можно решить это уравнение методом разложения на множители или с помощью формулы корней.
В данном случае, разложение на множители невозможно, поэтому воспользуемся формулой корней.
Для квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0, корни x можно найти по формуле:
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
В нашем случае a = 1, b = 6 и c = -72.
Подставляем значения в формулу:
x = (-6 ± √(6^2 - 4*1*(-72))) / (2*1)
x = (-6 ± √(36 + 288)) / 2
x = (-6 ± √324) / 2
x = (-6 ± 18) / 2
Теперь решим уравнение:
x = (-6 + 18) / 2 = 12 / 2 = 6
или
x = (-6 - 18) / 2 = -24 / 2 = -12
Так как стороны не могут иметь отрицательные значения, x = -12 не подходит. Получаем, что одна сторона равна 6 м, а другая сторона равна (6 + 6) = 12 м.
6. Составьте квадратное уравнение, имеющее корни, равные 6 и 2, и преобразуйте его так, чтобы все коэффициенты были целыми числами.
Чтобы составить уравнение с заданными корнями, нужно использовать формулу:
(x - корень1)(x - корень2) = 0
В данном случае, корни равны 6 и 2, поэтому уравнение будет:
(x - 6)(x - 2) = 0
Раскрываем скобки:
x^2 - 6x - 2x + 12 = 0
x^2 - 8x + 12 = 0
Теперь мы имеем квадратное уравнение с целыми коэффициентами.
7. Найдите все целые положительные значения р, при которых уравнение х^2 - px – 8 = 0 имеет целые корни.
Чтобы уравнение имело целые корни, дискриминант должен быть полным квадратом. В данном случае, дискриминант равен p^2 + 32.
Поэтому п^2 + 32 должно быть полным квадратом целого числа.
Пробуем различные значения целого числа p, начиная с 1, и проверяем, будет ли п^2 + 32 полным квадратом. Если да, такое значение р исходного уравнения подходит.
8. Решите уравнение х^2 + 8 – 9 = 0.
Чтобы решить это уравнение, нужно привести его к стандартному виду:
x^2 - 9 = 0
Теперь можно применить формулу квадратных корней:
x = ± √9
x = ± 3
Таким образом, уравнение имеет два корня: x = 3 и x = -3.
Дополнительное задание 9. Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел на 49 больше удвоенного большего из данных чисел. Найдите эти числа.
Пусть первое натуральное число равно x, тогда второе натуральное число будет равно (x + 1).
Из условия задачи получаем уравнение:
x^2 + (x + 1)^2 = 2(x + 1)
Раскроем скобки:
x^2 + x^2 + 2x + 1 = 2x + 2
Сократим подобные слагаемые:
2x^2 + 2x + 1 = 2x + 2
Перенесем все слагаемые на одну сторону:
2x^2 + 2x - 2x - 1 + 2 - 2 = 0
2x^2 - 1 = 0
Теперь решим это уравнение методом формулы корней:
x = (-2 ± √(2^2 - 4 * 2 * -1)) / (2 * 2)
x = (-2 ± √(4 + 8)) / 4
x = (-2 ± √12) / 4
x = (-2 ± 2√3) / 4
Упростим выражение:
x = (-1 ± √3) / 2
Таким образом, первое натуральное число может быть равно (-1 + √3) / 2 или (-1 - √3) / 2.
Второе натуральное число соответственно будет равно (-1 + √3) / 2 + 1 или (-1 - √3) / 2 + 1.