Question

Мне нужно написать короткий реферат на тему "квадратные уравнения".

Answer 1

уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Answer 2

Квадратное уравнение

План:

Введение

1 Геометрический смысл

2 Получение формулы для решения

3 Уравнение с вещественными коэффициентами

3.1 Другие записи решений

3.2 Приведённое квадратное уравнение

3.3 Мнемонические правила

4 Уравнение с комплексными коэффициентами

5 Теорема Виета

5.1 Мнемоническое правило

6 Разложение квадратного уравнения на множители

7 Уравнения, сводящиеся к квадратным

7.1 Алгебраические

7.2 Дифференциальные

Примечания

Введение

Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение общего вида

ax^2 + bx + c = 0, \quad a \ne 0.

Коэффициент с называется свободным членом этого уравнения.

Поделив уравнение общего вида на a, можно получить так называемое приведённое квадратное уравнение:

x^2 + px + q = 0, \quad p=\frac{b}{a}, \quad q=\frac{c}{a}.

1. Геометрический смысл

Квадратное уравнение.gif

Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют точки пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (в вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня. (См. изображение справа.)

Если коэффициент а положительный, ветви параболы направлены вверх и наоборот. Если коэффициент b положительный, то вершина параболы лежит в левой полуплоскости и наоборот.

2. Получение формулы для решения

Формулу можно получить следующим образом:

ax2 + bx + c = 0,

ax2 + bx = − c

Умножаем каждую часть на 4a и прибавляем b2:

4a2x2 + 4abx + b2 = − 4ac + b2

(2ax + b)2 = − 4ac + b2

2ax + b = \pm\sqrt{-4ac + b^2}

3. Уравнение с вещественными коэффициентами

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами a,~b,~c может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта D = b2 − 4ac:

при D > 0 корней два, и они вычисляются по формуле

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a};       (1)

при D = 0 корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:

x = \frac{-b}{2a};

при D < 0 вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой

x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{-b^2+4ac}}{2a}.

3.1. Другие записи решений

Вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать эквивалентное выражение

x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2-ac}}a,

где k = b / 2. Это выражение является более удобным для практических вычислений при чётном b, то есть для уравнений вида ax2 + 2kx + c = 0.

3.2. Приведённое квадратное уравнение

Квадратное уравнение вида x2 + px + q = 0, в котором старший коэффициент a равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней (1) упрощается до

x_{1,2}= -\frac p2 \pm \sqrt{\left( \frac p2 \right)^2-q}.

Если уравнение записать в виде x2 + 2px + q = 0, то формула будет ещё проще:

x_{1,2}= -p \pm \sqrt{p^2-q}.