a)
cos2x = cos^2(x)-sin^2(x) = (1-sin^2(x)) - sin^2(x) = 1 - 2sin^2(x)
3(1-sinx) - 1- cos2x =0 ==> 3 - 3sinx - 1- (1 - 2sin^2(x) = 0 ==> 3 - 3sinx - 2 + 2sin^2(x) = 0
2sin^2(x) - 3sinx +1 = 0
обозначим y=sinx тогда получим квадратное уравнение
2y^2 - 3y +1 = 0 корни которого y1=1 и y2=1/2
y1=1 ==> sinx =1 ==> x1=pi/2
y2=1/2 ==> sinx =1/2 ==> 1) x2=pi/6
2) x3=pi-pi/6 =5pi/6
x1+x2+x3=pi/2+pi/6+5pi/6=3*pi/2
b)
sin2x = 2sinx*cosx 1=cos^2 x + sin^2 x
3sin2x+ 8cos^2 x - 1 =0 ==> 3(2sinx*cosx) + 8cos^2 x -(cos^2 x + sin^2 x)=0 ==>
6sinx*cosx + 7cos^2 x - sin^2 x =0 раздедим на (-cos^2 x) получим
-6tgx - 7 + tg^2 x =0 ==> tg^2 x - 6tgx - 7=0
обозначим y=tgx тогда получим квадратное уравнение
y^2 - 6y - 7=0
D= 36-4*1*(-7) =36+28 =64 = 8^2
y1=(6+8)/(2*1)=14/2 =7
y2=(6-8)/(2*1)=-2/2 =-1
y1=7 tgx=7 ==> x1 = arctg(7)
y2=-1 tgx=-1 ==> 1) x2 = -pi/4
2) x3 = 3*pi/4
x1+x2+x3=arctg(7)-pi/4+3*pi/4=pi/2 + arctg(7)
ДАНО: АВСDEFA1B1C1D1E1F1 - правильная шестиугольная призма ; АВ = АА1 = 1
НАЙТИ: p ( A ; CB1 )
1) точка А и отрезок СВ1 лежат в плоскости треугольника АВ1С.
Все боковые грани правильной шестиугольной призмы равны.
Значит, АВ1 = В1С => ∆ АВ1С - равнобедренный
Найдём все стороны ∆ АВ1С
2) Рассмотрим ∆ АВ1В ( угол АВВ = 90° ):
По теореме Пифагора:
АВ1² = АВ² + ВВ1²
АВ1² = 1² + 1² = 2
АВ1 = √2
АВ1 = В1С = √2
3) В основании правильной шестиугольной призмы лежит правильный шестиугольник. Все углы правильного шестиугольника равны 120°.
Рассмотрим ∆ АВС ( АВ = ВС ):
По теореме косинусов:
АС² = АВ² + ВС² - 2 × АВ × ВС × cos ABC
AC² = 1² + 1² - 2 × 1 × 1 × cos 120°
AC² = 2 - 2 × ( - 1/2 ) = 2 + 1 = 3
AC = √3
4) B1B перпендикулярен ВН
ВН перпендикулярен АС
Значит, по теореме о трёх перпендикулярах В1Н перпендикулярен АС
Высота в равнобедренном ∆ АВ1С является и медианой и биссектрисой =>
АН = НС = 1/2 × АС = 1/2 × √3 = √3/2
5) Рассмотрим ∆ В1СН ( угол В1НС = 90° ):
По теореме Пифагора:
В1С² = В1Н² + НС²
В1Н² = ( √2 )² - ( √3/2 )² = 2 - 3/4 = 5/4
В1Н = √5/2
Опустим из точки А перпендикуляр АМ на отрезок В1С. Соответственно, АМ = р ( А ; В1С )
6) Найдём площадь ∆ В1АС:
S b1ac = 1/2 × AC × B1H
С другой стороны, S b1ac = 1/2 × B1C × AM
Приравняем площади и получим:
1/2 × АС × В1Н = 1/2 × В1С × АМ
АС × В1Н = В1С × АМ
АМ =
Значит, p ( А ; В1С ) = √30/4
ОТВЕТ: √30 / 4
Объяснение: