Question

Существуют ли попарно различные вещественные числа a,b,c, такие, что (a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5=0?

Answer 1

$S=(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5=0\\$
 Попробуем так ,  
 $a-b=n, b-c=m , c-a = -(n+m) \\ 1)S=n^5+m^5-(n+m)^5 = -5m^4n-10m^3n^2-10m^2n^3-5mn^4$
 $2)S = -5mn(m^3+10m^2n+10mn^2+n^3) =\\-5mn(m^3+n^3+2mn(m+n))$      
 $3) S = -5mn((m+n)(m^2-mn+n^2)+2mn(m+n)) = \\ S=-5mn(m+n)(m^2+mn+n^2)$ 
  Обратная замена 
 $4) S=5(a-b)(c-b) (a-c) ((b-c)^2+(a-b)(b-c) + (a-b)^2) = \\ 5(a-b)(c-b)(a-c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0\\ a \neq b , c \neq b , c \neq a \\ a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ac$ 
 То есть таких чисел не существуют